梁のたわみ・曲げモーメント計算

公式（E：ヤング係数、I：断面二次モーメント、L：スパン）

集中荷重と等分布荷重を両方入れたときは、2つの結果を足し合わせます（重ね合わせ）。どの支持条件でも、2つの荷重の最大値が同じ位置に出るので、足した値がそのまま最大値です。

単位の扱い

P は kN を N に、L は m を mm に、I は cm⁴ を mm⁴（×10⁴）に直して計算し、たわみを mm で出します。w は kN/m ＝ N/mm なのでそのまま使えます。

計算例

E＝205,000 N/mm²、I＝2,000 cm⁴、スパン4 m の単純梁に等分布荷重5 kN/m がかかると、M ＝ 5 × 4² ÷ 8 ＝ 10 kN·m、たわみ ＝ 5 × 5 × 4,000⁴ ÷ (384 × 205,000 × 2,000×10⁴) ＝ 4.065 mm（スパンの約1/984）。同じ梁の中央に10 kN の集中荷重なら、M は同じ10 kN·m ですが、たわみは 3.252 mm です。

支持条件によるたわみの違い（同じ荷重・同じ梁）

※たわみ ＝ 係数 × wL⁴/EI（等分布）または 係数 × PL³/EI（集中）。

ヤング係数 E の目安

※鋼以外は目安。設計では使う材料の規準・製品の値を使ってください。

スパンとたわみの関係（単純梁・等分布）

※入力した内容はお使いのブラウザの中だけで処理され、サーバーには送信されません。この計算は弾性範囲の材料力学の公式による概算です。せん断変形・横座屈・局部座屈・接合部の回転・梁の自重（入力しない限り）は含みません。建築物や機械の設計は、該当する規準と技術者の確認に基づいて行ってください。

梁のたわみ・曲げモーメント計算の詳しい解説

梁に荷重がかかると、梁は曲がり（曲げモーメント）、下へたわみます。設計ではこの2つを別々に確かめます。曲げモーメントは梁が壊れないか（強さ）を、たわみは使えるか（剛さ）を決めます。強さが足りていても、たわみが大きすぎると床が揺れる、仕上げにひびが入る、建具が閉まらない、といった不具合が起きます。

このツールは、材料力学の基本の公式で、3つの支持条件と2つの荷重の組み合わせを計算します。単純梁は両端をピンとローラーで支えた梁、片持ち梁は一端を固定して他端を自由にした梁（庇やベランダ、棚の腕木）、両端固定梁は両端を回転できないように固めた梁です。荷重は、1点に集中してかかる集中荷重と、梁の長さ全体に均等にかかる等分布荷重です。

サイトの既存ツール「H形鋼 梁の許容曲げ・たわみ確認」との役割分担を書いておきます。あちらは、代表的なH形鋼の断面から選び、鋼種と等分布荷重で曲げ応力度とたわみを許容値と比べるツールで、鋼の梁に特化しています。こちらは、ヤング係数 E と断面二次モーメント I を自由に入れられるので、木材、アルミ、角パイプ、平鋼、表に無い形鋼など、どんな材料と断面にも使えます。集中荷重も扱えます。H形鋼の等分布荷重ならあちら、それ以外の梁や公式の確認ならこちら、と使い分けてください。

公式を並べて見ると、支持条件の影響の大きさが分かります。同じ梁・同じ等分布荷重で比べると、両端固定のたわみは単純梁の1/5、片持ち梁は9.6倍です。集中荷重では両端固定が1/4、片持ちが16倍です。ただし、本当の固定端をつくるのは簡単ではありません。接合部が少しでも回転すれば、たわみは単純梁に近づきます。迷ったら単純梁として計算するのが安全側です。

スパンの効き方も強烈です。等分布荷重の単純梁では、曲げモーメントはスパンの2乗、たわみはスパンの4乗に比例します。スパンを1.5倍にすると、曲げモーメントは2.25倍、たわみは約5.06倍になります。集中荷重ならたわみはスパンの3乗です。少しスパンを延ばすだけで、たわみが一気に制限を超えるのはこのためです。

断面の効き方は、たわみと強さで違います。たわみは断面二次モーメント I に反比例し、曲げ応力度は断面係数 Z に反比例します。長方形断面では I は高さの3乗、Z は高さの2乗に比例するので、梁せいを2倍にするとたわみは1/8、応力度は1/4になります。同じ量の材料でも、縦に使うか横に使うかで剛さが大きく変わります。平らな板を立てて使うと強いのはこのためです。

材料の違いはヤング係数に表れます。鋼の205,000 N/mm² に対し、アルミニウム合金は約70,000 N/mm² で、同じ断面なら約3倍たわみます。アルミは軽くて錆びにくい反面、たわみで断面が決まることが多い材料です。木材は樹種と等級で値が大きく違い、さらに長く荷重がかかると時間とともにたわみが増える（クリープ）ので、木造の規準ではその割増しを考えます。

計算例で流れを追ってみます。E＝205,000 N/mm²、I＝2,000 cm⁴、Z＝200 cm³ の鋼の梁を、スパン4 m の単純梁として、中央に10 kN の集中荷重と、全長に2 kN/m の等分布荷重をかけます。曲げモーメントは集中荷重の10 kN·m と等分布荷重の4 kN·m を足して14 kN·m、たわみは3.252 mm と1.626 mm を足して4.878 mm（スパンの約1/820）です。曲げ応力度は 14 kN·m ÷ 200 cm³ ＝ 70 N/mm² です。単位をそろえることが計算のほとんどで、I を cm⁴ のまま mm で計算すると、たわみが1万倍ずれます。このツールは入力の単位を固定し、内部で N と mm にそろえています。

反力とせん断力も同時に出ます。単純梁と両端固定梁では、左右の支点がそれぞれ荷重の半分を受けます。片持ち梁では固定端が荷重のすべてと、曲げモーメントを受けます。片持ち梁の根元の金物やアンカーは、反力だけでなくこのモーメントに耐えなければならないので、根元の固定が片持ち梁の設計の要になります。

たわみの制限は用途で違います。建築の床梁ではスパンの1/300程度を目安にすることが多く、片持ち梁は先端のたわみを張出し長さで割って評価するほか、スパンの2倍の単純梁とみなして制限を考える規準もあります。このツールの判定は入力した制限との比較なので、使う規準の値を入れてください。

最後に、公式が前提にしていることです。梁は弾性範囲にあり、たわみは小さく、断面は変形しても平らなまま（せん断変形を無視）とします。H形鋼のような開いた断面では、横にねじれながら倒れる横座屈で曲げの強さが決まることがあります。梁の自重は、等分布荷重に含めて入れてください。このツールは公式の計算であって、設計の照査ではありません。

業界・現場での使い方

よくある間違い・注意点

• I を cm⁴ と mm⁴ で取り違える — 1 cm⁴ ＝ 10,000 mm⁴ です。このツールは cm⁴ で入力します。
• 固定端を過信する — 接合部が少しでも回転すれば単純梁に近づきます。迷ったら単純梁で計算します。
• 梁の自重を忘れる — 長いスパンでは自重が効きます。等分布荷重に含めて入れます。
• 強さだけ確かめてたわみを見ない — アルミや長いスパンでは、たわみで断面が決まることが多いです。
• 断面二次モーメントの軸を間違える — 強軸と弱軸で I は大きく違います。荷重の向きに合った軸の値を使います。

関連する規格・公的資料

• 一般社団法人 日本建築学会 — 鋼構造許容応力度設計規準・建築構造の設計資料
• e-Gov 法令検索（建築基準法施行令） — 第82条 保有水平耐力計算等（変形の確認）・第90条 鋼材等の許容応力度
• 国土交通省 住宅局 — 構造関係の技術基準
• 国立研究開発法人 建築研究所 — 建築構造の研究
• 国土技術政策総合研究所 — 建築構造の技術基準の解説
• 公益社団法人 土木学会 — 構造力学と鋼構造の標準示方書
• 一般社団法人 日本機械学会 — 材料力学（はりの曲げとたわみ）
• 一般社団法人 日本建築構造技術者協会（JSCA） — 構造設計の実務資料
• 日本産業標準調査会（JISC） — JIS G 3192 熱間圧延形鋼の形状・寸法・断面性能

※本ツールは公的基準に基づく参考計算です。医療・法務・税務の判断は最新の告示・規格および専門家の判断に従ってください。

よくある質問（FAQ）

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