座標から距離と方位角を計算

計算式

座標差 ΔX＝X2−X1、ΔY＝Y2−Y1 から 水平距離 D＝√(ΔX²＋ΔY²)、方位角 α＝atan2(ΔY, ΔX) です。平面直角座標では X 軸が北、Y 軸が東なので、方位角は北から時計回りに測った角になります。既定値の ΔX＝300・ΔY＝400 では距離 500.000m、方位角 53°07′48.4″（第1象限）、逆方位角は 180° を足して 233°07′48.4″ です。

標高差 ΔZ＝12.000m からは 斜距離 √(500²＋12²)＝500.144m、勾配 12／500＝2.40%（1：41.7）、鉛直角 atan(12／500)＝1°22′29.4″ が求まります。atan2 を使うと象限判定を場合分けせずに 0〜360° の方位角が得られます。

座標差の符号と象限・方位角の範囲

平面直角座標と数学の座標の違い

勾配の表し方の換算

※本ツールは計算式による参考計算です。公共測量・登記測量の成果は、公共測量作業規程の準則および国土地理院の公式計算・成果に従ってください。

座標から距離と方位角を計算の詳しい解説

座標から距離と角度を求める計算は「逆計算」と呼ばれ、測量計算の中で最も頻繁に行うものです。座標差の二乗和の平方根が距離、座標差の比の逆正接が方位角ですが、逆正接は −90°〜＋90° しか返さないので象限による補正が要ります。ここでプログラムの atan2 関数を使えば、ΔY と ΔX の符号から 0〜360° の方位角が一度に得られます。手計算や関数電卓では、まず ΔX と ΔY の符号で象限を決め、第2・第3象限なら 180° を足し、第4象限なら 360° を足す、という手順を踏みます。

測量の座標で最初に注意すべきは軸の向きです。平面直角座標系では X が北、Y が東で、方位角は北から時計回りに測ります。数学や CAD の座標は x が東、y が北で角は東から反時計回りなので、CAD に測量座標を渡すときは X と Y を入れ替え、角度は 90° から引く必要があります。この取り違えは方位角がちょうど 90° 分ずれる、または東西が鏡になる形で現れ、図面上で建物が回転して見えるので気づきやすい反面、数値だけを扱っているときは見逃しがちです。

逆方位角は方位角に 180° を足した値で、360° を超えたら 360° を引きます。終点から起点を見た方向で、トラバースの計算やトータルステーションの後視設定に使います。象限は方位角を 90° ごとに区切ったもので、方位角そのものがあれば必要ありませんが、方位（N30°E のような表記）に直すときや、電卓での逆正接の補正を確認するときに役立ちます。

標高を加えると、水平距離と高低差から斜距離・勾配・鉛直角が出ます。斜距離は測距儀が直接測る量で、逆に斜距離と鉛直角が分かっていれば水平距離と高低差に戻せます。勾配は百分率、1：n、角度の3通りで表され、道路や排水は百分率、法面は 1：n、機械の設定は角度と分野で慣習が違うので、換算表を手元に置いておくと便利です。2.4% は 1：41.7、角度で約 1°22′ です。

精度の面では、座標の桁を落とさないことが大切です。平面直角座標は原点から数十km〜百km の値をとるため、mm を保つには小数点以下 3桁が必要で、表計算ソフトの表示桁数だけを減らして計算すると距離に mm の誤差が乗ります。また、平面直角座標上の距離は縮尺係数（原点で 0.9999）の影響で地上の実距離とわずかに違い、原点付近では 1km あたり 10cm 短く出ます。杭間の実測距離と座標計算の距離を比べるときは縮尺係数と標高による補正を忘れないでください。

別の条件での計算例

座標が負の領域でも扱いは同じです。起点 (X −1,200.500, Y 3,400.250) から終点 (X −1,450.500, Y 3,100.250) では ΔX＝−250.000、ΔY＝−300.000 で、水平距離は √(250²＋300²)＝390.512m です。atan(300／250)＝50°11′39.9″ ですが ΔX・ΔY ともに負なので第3象限、方位角は 180° を足して 230°11′39.9″、逆方位角は 50°11′39.9″ になります。電卓で atan だけを取って 50° と答えてしまうと、正反対の方向を向いた杭打ちになります。標高が起点 12.400m・終点 9.150m なら高低差 −3.250m、勾配は −3.250／390.512＝−0.83%（1：120.2）で、下り勾配として排水の最小勾配 0.5〜1% の範囲にあるかを確かめる、といった使い方になります。

業界・現場での使い方

よくある間違い・注意点

• X と Y を入れ替えて入力する — 平面直角座標は X が北、Y が東です。CAD の x・y と逆なので、方位角が 90° ずれます。
• atan の結果をそのまま方位角にする — atan は −90°〜90° しか返しません。象限で 180° や 360° を足すか、atan2 を使います。
• 斜距離を水平距離として使う — 測距儀の生の距離は斜距離です。鉛直角で水平距離に直してから座標計算します。
• 座標の小数点以下を丸める — mm を保つには小数点以下 3桁が要ります。表示桁を減らしたまま計算すると距離に誤差が出ます。
• 縮尺係数を無視して実測距離と比べる — 平面直角座標上の距離は原点付近で 1km あたり約 10cm 短くなります。

関連する規格・公的資料

• 国土地理院 — 基準点成果・ジオイドモデル・平面直角座標系の告示と解説
• 国土地理院 測量計算サイト — 緯度経度と平面直角座標の換算・ジオイド高の公式計算サービス
• 公共測量作業規程の準則（国土地理院） — 基準点測量・水準測量の方法と許容範囲
• e-Gov 法令検索（測量法・測量法施行令） — 測量法と、平面直角座標系を定める施行令
• 日本測量協会 — 測量技術の普及と測量士・測量士補の教育
• 日本測量調査技術協会 — 測量技術者の団体。技術資料と研修
• 日本測地学会 — 測地学・ジオイド・座標系の学術団体
• 国土交通省 — 道路構造令と公共測量の制度
• 土木学会 — 土木工学の学術資料
• 産業技術総合研究所 計量標準総合センター — 長さ・角度の国家計量標準
• 日本産業標準調査会（JISC） — JIS B 7912（測量機器）などの規格
• 国際測地学協会（IAG） — GRS80 楕円体などの国際的な測地基準
• 測量法施行令（平面直角座標系） — X 軸が北・Y 軸が東であることの根拠
• 国土地理院 平面直角座標系の解説 — 19 の座標系と原点・縮尺係数
• 不動産登記規則（地積測量図の座標） — 境界点座標の記載方法

※本ツールは公的基準に基づく参考計算です。医療・法務・税務の判断は最新の告示・規格および専門家の判断に従ってください。

よくある質問（FAQ）

関連計算ツール