クロソイド曲線の計算

クロソイドの基本式

クロソイドは、始点からの長さ l に比例して曲率が大きくなる曲線です。直線と円曲線のあいだに入れると、ハンドルを一定の速さで切りながら曲がっていけるため、道路の緩和曲線に使われます。

A² ＝ R × L　　τ ＝ L／(2R) ＝ L²／(2A²)

A はクロソイドパラメータ（m）、R は終点の曲率半径（＝つながる円曲線の半径）、L はクロソイドの長さ、τ は終点の接線角（ラジアン）です。

座標と主要な値

始点（KA）を原点、始点の接線方向を X 軸とすると、長さ s の点の座標は x ＝ ∫cos(u²/2A²)du、y ＝ ∫sin(u²/2A²)du（0〜s）で求めます。このツールは数値積分で計算しています。

ΔR ＝ Y＋R cosτ − R　　XM ＝ X − R sinτ　　TK ＝ Y／sinτ　　TL ＝ X − Y／tanτ

計算例

R ＝ 150 m、L ＝ 50 m なら A ＝ √(150×50) ＝ 86.603 m、τ ＝ 50／300 ＝ 0.16667 rad（9.549°）。終点は X ＝ 49.861 m、Y ＝ 2.772 m、移程量 ΔR ＝ 0.694 m、XM ＝ 24.977 m です。交角40°の対称形なら、接線長 W ＝ 79.825 m、円曲線長 54.720 m です。

道路構造令の最小曲線半径と緩和区間の長さ

曲線半径は第15条、緩和区間の長さは第18条の値です。右端の列は、最小曲線半径の円に最小の緩和区間長のクロソイドを入れたときのパラメータを A²＝RL から計算したもので、条文の数値ではありません。片勾配のすりつけに必要な長さがこれを超える場合は、その長さ以上にします。

主要点の計算例

※入力した内容はお使いのブラウザの中だけで処理され、サーバーには送信されません。この計算は単純な基本型（クロソイド＋円曲線＋クロソイドの対称形）の主要点を求めるものです。道路の線形設計は、道路構造令・同解説と管理者の基準、視距・片勾配のすりつけなどを総合して行ってください。

クロソイド曲線の計算の詳しい解説

道路で直線からいきなり円の曲線に入ると、その瞬間にハンドルを一気に切らなければならず、車は横に振られます。実際の運転では、ハンドルは少しずつ切っていきます。このとき車が描く軌跡は、走った距離に比例して曲がり方（曲率）が大きくなる曲線になります。これがクロソイドで、直線と円曲線のあいだに入れる緩和曲線として、日本の道路で標準的に使われています。

クロソイドの性質は、A² ＝ R × L という簡単な式で表されます。始点からの長さ l の点の曲率半径を r とすると、r × l がどこでも一定の値 A² になります。A はクロソイドパラメータと呼ばれ、クロソイドの大きさを決める値です。円曲線の半径 R につなぐ長さ L のクロソイドは A ＝ √(RL) で、R ＝ 150 m・L ＝ 50 m なら A ＝ 86.6 m です。A が大きいほど、曲率がゆっくり変わる緩やかな曲線になります。

クロソイドの終点で曲線の向きがどれだけ変わったかを表すのが接線角 τ で、τ ＝ L／(2R) です。円の場合の中心角 L／R のちょうど半分になります。τ がわかると、終点の座標、円曲線とのつながり方、接線長などが求まります。座標は積分 x ＝ ∫cos(u²/2A²)du、y ＝ ∫sin(u²/2A²)du で表され、式の形では解けないため、級数展開か数値積分で計算します。このツールは数値積分を使い、1mm 以下の精度で求めています。

重要なのが移程量 ΔR（シフト）です。クロソイドを入れると、円曲線はもとの位置から内側へ ΔR だけずれます。ΔR ＝ Y＋R cosτ − R で、近似的には L²／(24R) です。R ＝ 150 m・L ＝ 50 m では 0.694 m になります。もとの単曲線の計画をそのまま使えないのはこのためで、クロソイドを含めて主要点を計算し直す必要があります。円の中心の X 座標 XM は、およそ L の半分になります。

短接線 TK と長接線 TL は、クロソイドの始点と終点の接線が交わる点までの距離です。現場でクロソイドを設置するとき、接線の交点を基準に始点や終点を出す場合に使います。また、2本の直線の交角 IA がわかれば、対称形（クロソイド＋円曲線＋クロソイド）の接線長 W ＝ (R＋ΔR)tan(IA/2)＋XM と、円曲線の長さ Lc ＝ R(IA − 2τ) が求まります。交角が 2τ より小さいと円曲線が入らないので、L を短くするか R を大きくします。

道路構造令は、設計速度ごとに曲線半径の最小値（第15条）と緩和区間の長さの最小値（第18条）を定めています。たとえば設計速度60 km/h では、曲線半径は150 m 以上（地形などでやむを得ない箇所は120 m まで縮小可）、緩和区間の長さは50 m 以上です。片勾配のすりつけに必要な長さがこれを超える場合は、その長さ以上にします。曲線半径150 m に50 m の緩和区間を入れるクロソイドは A ＝ 86.6 m なので、A がこれより小さいと条文の最小値を満たしません。このツールは、選んだ設計速度の値と入力した R・L を比べて表示します。

実際の線形設計では、条文の最小値だけでなく、走行の快適さや見た目の滑らかさ、視距、片勾配と拡幅のすりつけ、前後の線形との釣り合いを考えて A を決めます。このツールは単純な基本型の主要点を求めるためのもので、卵形や凸形、S形などの複合型や、測量座標系への変換は扱いません。座標を平面直角座標に載せるときは、始点の座標と方向角を使って回転・平行移動します。

計算の例です。設計速度60 km/hの道路で、曲線半径150 mの円曲線の前後に長さ50 mのクロソイドを入れると、A ＝ 86.6 m、τ ＝ 9.549°で、終点はクロソイドの始点から接線方向に49.861 m、横に2.772 mの位置になります。移程量は0.694 m、円の中心のX座標は24.977 mで、ほぼLの半分です。2本の直線の交角が40°なら、交点から曲線の始点までの接線長は79.825 m、円曲線の長さは54.720 m、曲線全体の長さは154.720 mになります。

途中の点の座標は、始点からの距離 l を入れると求まります。l ＝ 25 m の点は x ＝ 24.996 m、y ＝ 0.347 m で、その点の曲率半径は A²／l ＝ 300 m です。始点では曲率半径が無限大（直線）で、終点で円曲線の半径150 mに一致します。中心杭を10 mや20 mごとに設置するときは、この計算を距離ごとに繰り返し、始点の座標と接線の方向角で測量の座標に直します。このツールの座標は始点を原点とした局所座標なので、そのままでは杭の座標になりません。

業界・現場での使い方

よくある間違い・注意点

• 移程量を無視する — クロソイドを入れると円曲線は ΔR だけ内側にずれます。単曲線の計画のままでは合いません。
• τ を中心角と同じにする — 終点の接線角は L/(2R) で、同じ長さの円弧の中心角の半分です。
• 度とラジアンを混同する — τ＝L/(2R) はラジアンです。度にするには 180/π を掛けます。
• 交角が小さいのに長いクロソイドを入れる — 交角が 2τ 未満だと円曲線が入りません。
• 緩和区間長を最小値だけで決める — 片勾配のすりつけに必要な長さが長ければ、その長さ以上にします。

関連する規格・公的資料

• e-Gov 法令検索（道路構造令） — 第15条 曲線半径、第18条 緩和区間
• 国土交通省 道路局 — 道路の構造の技術的基準
• 公益社団法人 日本道路協会 — 道路構造令の解説と運用
• 国土技術政策総合研究所 — 道路の幾何構造の研究
• 国立研究開発法人 土木研究所 — 道路の設計と施工の技術
• 国土地理院 — 測量の基準と座標系
• 公益社団法人 日本測量協会 — 路線測量の技術資料

※本ツールは公的基準に基づく参考計算です。医療・法務・税務の判断は最新の告示・規格および専門家の判断に従ってください。

よくある質問（FAQ）

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