マン・ホイットニーU検定 計算機｜順位和からU値・Z値・有意判定と効果量

計算式（U値・Z値・p値）

U値の算出

R₁ = 群1の順位和（2群を混合して昇順ランクを付け、群1のランクを合計）

U₁ = R₁ - n₁(n₁+1)/2

U₂ = n₁ × n₂ - U₁

U = min(U₁, U₂)

U値は群1のデータが群2のデータより順位で下回った回数と解釈できます。U=0は完全に群1が下（もしくは上）、U=n₁×n₂/2は差なしを意味します。

正規近似（大サンプル）

μ_U = n₁ × n₂ / 2

σ_U = √( n₁ × n₂ × (n₁+n₂+1) / 12 )

Z = (U - μ_U) / σ_U

n₁+n₂≥20 で正規近似が有効。|Z|>1.96で両側5%水準有意、|Z|>2.576で1%水準有意です。小サンプル（n₁またはn₂<8）は正規近似が不正確なため、U臨界値表またはFisher流の正確確率で判定します。

Wilcoxon順位和検定との関係

マン・ホイットニーU検定（1947）とWilcoxon順位和検定（1945）は、数学的に等価な検定で、統計量がU値かR値かの違いだけです。

Wilcoxon符号付順位検定との違い

Wilcoxon符号付順位検定（Signed-Rank）は対応ありデータ用です。Mann-Whitney U（=Wilcoxon順位和 Rank-Sum）は独立2群、Wilcoxon符号付順位は同一被験者の前後比較。名前が似ていて混同されやすいので注意してください。

同順位（tie）の扱いと補正

順位付けの際、同じ値が複数存在する場合はそれらの平均順位（midrank）を割り当てます。例：5位と6位が同点なら両方5.5位。

tie補正付き分散

σ_U(tie) = √( n₁n₂/12 × ((n₁+n₂+1) - Σ(t³-t)/((n₁+n₂)(n₁+n₂-1))) )

tは各タイグループのサイズ。tieが多いLikert尺度（5段階評価など）ではtie補正で分散が小さくなり、Z値の絶対値が上がって有意になりやすくなります。SPSSやR（wilcox.test）は自動で補正します。

tieが多いデータの限界

Likert尺度で「全員が5点」に近いデータや、離散カテゴリが少ないデータでは、tieの多さが検定の解像度を下げ、比例オッズモデル等の順序尺度モデルへの切替えが妥当な場合があります。

効果量（r・順位二変数相関）

有意性だけでなく効果量の報告が必須です。マン・ホイットニーの効果量指標は主に2つあります。

効果量 r

r = |Z| / √N　（N = n₁ + n₂）

Cohenの基準：r=0.1（小）、r=0.3（中）、r=0.5（大）。

順位二変数相関（Rank-Biserial Correlation）

r_rb = 1 - (2U) / (n₁ × n₂)

0〜1で、1は完全分離、0は完全重複を意味します。「群1のランダム観測が群2より大きい確率」の解釈が可能で、実務的にわかりやすい指標。

共通言語効果量（CLES）

CLES = U / (n₁ × n₂)

「群1の観測が群2の観測より小さい確率」を直接表す指標。0.5が差なし、1に近いほど差が大きい。臨床試験・心理学・UX研究の報告に適します。

臨界値表（小サンプル・両側5%）

n₁+n₂<20 では正規近似が不正確なので臨界値表を使います。以下は両側α=0.05の臨界値（U≤臨界値で有意）の抜粋。

数値はU（min(U₁,U₂)）の臨界値。R（stats::wilcox.test）またはPython（scipy.stats.mannwhitneyu）で厳密なp値を計算するのが最も簡単です。

計算例（Likert・実験データ）

例1：小サンプル臨床

群1（新薬）n=10、群2（プラセボ）n=10、群1の順位和R₁=75。U₁ = 75 - 10×11/2 = 20、U₂ = 100-20 = 80、U = min = 20。μ_U=50、σ_U=√(10×10×21/12)≒13.23、Z = (20-50)/13.23 ≒ -2.27、|Z|>1.96で5%有意。

例2：Likert5段階評価

製品A（n=30）と製品B（n=30）の満足度5段階評価。tieを含む順位和からU値を計算し、tie補正付きのZ値を求めます。多くのtieを含むため、比例オッズモデルとの併用も検討する場面。

例3：UXタスク完了時間

デザインA（n=15）とB（n=15）でタスク完了時間を計測。外れ値（極端に遅い被験者）が含まれるため、t検定ではなくU検定を採用。効果量CLESで「Aの方が速く完了できる確率」を報告。

業界・場面別の使い方

よくある間違い・注意点

• 対応ありデータに使う — Mann-Whitney Uは独立2群専用。同一被験者の前後比較にはWilcoxon符号付順位検定を使います。
• 「中央値の検定」と誤解 — Mann-Whitney U は厳密には「分布位置」の検定であり、両群の分布形状が異なると中央値の差を検出しない場合があります。分布形状が近い前提で「中央値の検定」として使えます。
• tieを補正しない — Likert等の離散データでtieを補正しないと分散が過大評価され、p値が保守的になります。統計ソフトの自動補正機能を有効化しましょう。
• 効果量を報告しない — 有意性だけでは実務判断できません。r、rank-biserial相関、CLESなどの効果量を必ず併記しましょう。
• 小サンプルで正規近似を使う — n<8では正規近似が不正確。scipyやRの exact モードを使うか臨界値表で判定します。
• 3群以上に使う — 2群専用です。3群以上はKruskal-Wallis検定を、その後の多重比較にはDunn検定や Bonferroni調整付きMann-Whitneyを使います。
• t検定と併用して都合よく報告 — 事前に検定手法を決めておくのが原則。両方走らせて有意な方を選ぶのは p-hackingで、研究倫理違反です。

関連する統計手法・実務標準

• ICH E9 ― 臨床試験のための統計的原則。ノンパラメトリック検定の位置づけ、事前計画、多重比較の扱いを定義。
• CONSORT声明 ― RCT報告の国際標準。検定手法・効果量・信頼区間の報告フォーマット。
• STROBE声明 ― 観察研究の報告ガイドライン。ノンパラ検定の使用も含む記述の統一。
• APA Publication Manual ― 米国心理学会の論文執筆規則。Mann-Whitney Uの報告フォーマット（U、p、効果量r）を規定。
• ISO 5479 ― 統計的解釈-正規性からの逸脱の検定。パラメトリック検定の適用可否を決めるための正規性検定の標準。

参考文献・公的資料

より深く学ぶには、以下の信頼できる原著論文・教科書・公的資料を参照してください。

• Mann & Whitney (1947) Original Paper ― Annals of Mathematical Statistics に掲載されたオリジナル論文。統計手法の起源。
• R Project - stats::wilcox.test ― Rの標準関数で Mann-Whitney U と Wilcoxon符号付順位両方を実装。tie補正・exact/正規近似の切替に対応。
• SciPy - scipy.stats.mannwhitneyu ― Pythonの標準的な統計ライブラリ。exact/asymptoticの切替、片側/両側検定に対応。
• 日本統計学会 ― ノンパラメトリック検定の日本語文献・教科書レビュー。
• 総務省 統計局 ― 統計調査法の解説、教材。
• JASP 統計ソフトウェア ― フリーの統計ソフト。ベイジアンMann-Whitney Uも実装。
• APA Style Manual ― 論文報告フォーマット、統計値の記述規則。
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods ― 統計工学の標準ハンドブック、ノンパラ検定章。
• BMJ Evidence-Based Medicine ― EBM分野での統計手法解説と臨床応用の実例。
• 日本行動計量学会 ― 心理・社会科学分野の統計手法学会。

よくある質問（FAQ）

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