外れ値判定 計算ツール｜IQR法(Tukey) と 3σ法・Hampel法・Grubbs検定の完全ガイド

計算式とIQR法の考え方

基本式

IQR = Q3 − Q1
下側フェンス = Q1 − k × IQR
上側フェンス = Q3 + k × IQR
外れ値：値 < 下側フェンス または 値 > 上側フェンス

ここでQ1は下から25%の値（第1四分位数）、Q3は下から75%の値（第3四分位数）、IQRはその差（中央50%のデータが分布する幅）です。係数 k は通常1.5（Tukey標準）を使い、3を使う場合は「極端な外れ値（far outlier）」として区別します。

特徴

IQR法はノンパラメトリック（分布形状を仮定しない）手法で、外れ値そのものの影響を受けにくいロバストな判定法です。正規分布を仮定する3σ法と異なり、歪んだ分布・多峰分布にも適用可能。ただし後述のとおり、極端に歪んだ分布では正常値まで外れ値判定されるケースがあります。

Tukey法の由来と1.5倍の根拠

IQR法は米国の統計学者John W. Tukey（1915-2000）が著書『Exploratory Data Analysis』（1977）で提唱しました。探索的データ解析（EDA）の中核手法で、箱ひげ図（box-and-whisker plot）と一体で使われます。

1.5倍の統計的意味

正規分布において、Q1 − 1.5×IQR と Q3 + 1.5×IQR は平均±2.698σ の位置に相当し、正規分布全体の約99.3%をカバーします。すなわち正常なデータの約0.7%が外れ値として判定される期待値で、n=1,000のデータなら約7個が外れ値候補となります。

3倍（極端外れ値）の意味

Q3 + 3×IQR は正規分布で平均+4.72σに相当し、確率0.0001%（約100万分の1）。この閾値を超える値は明らかにデータ入力ミス・測定エラー・システム異常と判断されます。JMP・Rの箱ひげ図では、1.5倍を超え3倍以内の外れ値を「◦」で、3倍超の極端外れ値を「＊」で区別表示するのが慣例です。

他の外れ値判定法との比較

MAD（中央絶対偏差）

MAD = median( |xi − median(x)| )

MADは中央値からの絶対偏差の中央値で、標準偏差のロバスト版。1.4826 × MAD ≒ 正規分布のσ相当で、Hampel識別子・修正Z-scoreで使用されます。外れ値そのものの影響を受けないため、IoTセンサー等の異常検知で標準的に採用されています。

四分位数の計算方法（複数流儀）

Q1・Q3の計算方法は9種類ほど存在し、統計ソフトによって値が微妙に異なります。実務では意識しておく必要があります。

データ n=10 で同じデータでもExcelとSPSSでQ1が異なる例あり。学術論文や品質管理報告書では「四分位数の計算方式」を明記することが推奨されます。

箱ひげ図（Box Plot）との関係

IQR法は箱ひげ図と一体で使われる可視化手法です。箱ひげ図の各要素は以下のとおり。

• 箱の下辺：Q1（第1四分位数・25%点）
• 箱の中央線：中央値（第2四分位数・50%点）
• 箱の上辺：Q3（第3四分位数・75%点）
• 下ヒゲ（whisker）：Q1 − 1.5×IQR 以内の最小値
• 上ヒゲ：Q3 + 1.5×IQR 以内の最大値
• ヒゲの外側の点：外れ値（Q1−1.5IQR未満 or Q3+1.5IQR超）

データの中央50%が箱の中に収まり、外れ値が点でプロットされるため、分布形状・中心傾向・ばらつき・外れ値を一目で把握できます。Excel（2016以降）・R（boxplot関数）・Python（matplotlib.pyplot.boxplot、seaborn.boxplot）で標準実装されています。

業界・現場での使い方

外れ値の処理方針

外れ値を検出した後の処理は、データの性質・分析目的により以下から選択します。

「外れ値＝除外する」は誤解で、稀な事象こそ分析の主目的である場合（詐欺検知・地震予測・薬物副作用など）は保持が必須です。

よくある間違い・注意点

• 「外れ値＝必ず除外」と機械的に処理 — 稀な事象の分析（詐欺検知・稀少疾患・地震予測）ではむしろ外れ値こそが分析対象。除外前に必ずドメイン知識で意味を確認してください。
• 歪んだ分布にそのまま適用 — 給与・購入金額・待ち行列時間など右歪み分布ではIQR法が上限を厳しく判定し、正常値が外れ値扱いに。対数変換後に適用するか、Hampel識別子を使用してください。
• 四分位数の計算方式を確認しない — Excel（Type 7）とSPSS（Type 6）でQ1・Q3が異なり、外れ値判定結果が変わることがあります。学術報告では計算方式を明記します。
• 小標本（n < 10）に適用 — n=5, 10程度では四分位数自体が不安定で、IQR法の信頼性は低い。Dixon Q検定や Grubbs検定（正規性前提）、または視覚的判定（散布図）を優先します。
• 多変量データに単変量IQRを繰り返し適用 — 各変数個別のIQR判定では、変数間の相関を考慮できず本来の多変量外れ値を見逃します。Mahalanobis距離・Isolation Forest・DBSCAN等の多変量手法を検討します。
• 時系列データにそのまま適用 — トレンド・季節性を持つ時系列（売上・気温・株価）は、時系列全体でIQR判定すると常にトレンドの端を外れ値扱い。移動窓（rolling window）IQRまたは STL 分解後の残差に対して適用します。
• 3σ法との誤った混用 — 3σ法は「平均±3×SD」で正規分布仮定。IQR法とは考え方が異なります。正規性が保証される品質管理では3σ法、非正規データではIQR法と使い分けが必要。

関連する規格・統計手法

• JIS Z 8103 ― 計測用語。統計解析用語（外れ値・四分位数・箱ひげ図など）の日本国内定義。
• JIS Z 8101-2 ― 統計 - 用語及び記号 - 第2部：応用統計。外れ値判定法の一般ルール。
• ISO 16269-4 ― Statistical interpretation of data - Part 4: Detection and treatment of outliers. 外れ値検出と処理の国際標準。Tukey法、Grubbs検定、Dixon Q検定を規定。
• JIS Z 9020-1/2 ― 管理図。3σ法（±3×SD）の管理限界に基づく品質管理。
• ASTM E178 ― Standard Practice for Dealing With Outlying Observations. 米国材料試験協会の外れ値処理標準。
• CLSI EP28-A3c ― Defining, Establishing, and Verifying Reference Intervals in the Clinical Laboratory. 臨床検査基準範囲設定でTukey法を推奨。
• FDA Guidance on Statistical Approaches ― 医薬品臨床試験における外れ値の取り扱いに関する米国FDAガイダンス。

参考文献・公的資料

より詳細な外れ値検出手法や統計理論を確認したい場合は、以下の公的機関・学会の資料を参照してください。

• 総務省統計局 ― 国家統計における欠測値・外れ値処理の技術資料と統計手法の解説。
• 日本産業標準調査会（JISC） ― JIS Z 8103・JIS Z 9020系の統計・品質管理規格の詳細検索。
• ISO 16269-4:2010 - Statistical interpretation of data - Detection and treatment of outliers ― 外れ値検出処理の国際規格公式ページ。
• 日本統計学会 ― 統計手法の学術情報・教育資料・学会誌。
• 統計数理研究所 ― 大学共同利用機関。ロバスト統計・外れ値検出の研究文献。
• NIST Statistical Engineering Division ― 米国国立標準技術研究所の統計技術部門。外れ値検出の実務ガイド。
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods ― Grubbs検定・Tukey法の詳細解説。
• CLSI（Clinical and Laboratory Standards Institute） ― 臨床検査における外れ値処理のガイドライン。EP28-A3c等。
• 日本品質管理学会（JSQC） ― 品質管理・SPC・管理図における外れ値処理の学術文献。
• ASTM E178 - Dealing With Outlying Observations ― 米国材料試験協会の外れ値処理標準規格。

よくある質問（FAQ）

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