行列式 3x3 計算ツール

計算式と前提

det ＝ a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)

入力欄は上から順に、1行目が a・b・c、2行目が d・e・f、3行目が g・h・i に対応します。既定値の 1,2,3 / 4,5,6 / 7,8,9 で計算すると、1×(5×9 − 6×8) − 2×(4×9 − 6×7) + 3×(4×8 − 5×7) ＝ 1×(−3) − 2×(−6) + 3×(−3) ＝ −3 + 12 − 9 となり、結果は 0.0000 です。表示は常に小数第4位まで丸めており、空欄は0として扱います。行列式は正方行列にだけ定義される量で、このツールは3次に限定しています。

行列式の早見表

代表的な行列と det の値

いずれもこのツールに入力して得られる表示値です。

行や列を操作したときの変化

基準は上の表の「1 2 3 / 0 1 4 / 5 6 0（det ＝ 1.0000）」です。操作した行列を実際に入力すると、次の値が表示されます。

行列式が0になるとき、何が起きているのか

3×3行列の行列式は、3本の列ベクトルが張る平行六面体の符号つき体積です。絶対値がその体積の倍率を、符号が向き（右手系か左手系か）を表します。既定値の 1,2,3 / 4,5,6 / 7,8,9 で0になるのは偶然ではなく、3行目が「2行目×2 − 1行目」で書けるためです。3本のベクトルが同じ平面に乗ってしまい、立体の厚みが失われて体積が0になります。ここから、det＝0 は「逆行列が存在しない」「列（行）が一次従属である」「対応する連立方程式の解が一意に定まらない」という言い換えがすべて同じ事実を指していることが分かります。

計算方法の選び方では実務上の判断が分かれます。3次まではサラスの方法（たすき掛け）が速く、手計算ならこれで十分です。ただしこの手順は2次と3次にしか成立せず、4次以降に同じ図式を当てはめると誤った値になります。一般の n 次では余因子展開か、行基本変形で上三角に直してから対角成分を掛けるLU分解系の方法を使います。余因子展開は定義に忠実ですが計算量が n の階乗に比例して増え、次数が少し上がるだけで手に負えなくなります。上三角化は n の3乗のオーダーで済むため、計算機による実装はほぼこちらです。手で解く場合も、成分に0が多い行や列を選んで展開すると手数が大きく減ります。

見落とされやすいのは、行列式の値そのものを「特異かどうかの判定基準」に使ってしまうことです。行列式はスケールに強く依存し、全体を10倍すると3次では1000倍になります。成分が小さい行列は det も小さくなるだけで、逆行列が求めにくいこととは別の話です。数値計算で特異性を測るときは、行列式ではなく条件数や特異値を見ます。また、このツールの表示は小数第4位までの丸めなので、「0.0000」と出ても厳密に0とは限りません。整数だけを入れたときは丸め誤差が入りませんが、小数を入れた場合は本来0でない値が0に見えることがあります。

用途によって、必要になる情報も変わります。連立3元1次方程式を解く場面では、係数行列の det が0でなければクラメルの公式で各変数を「係数行列の1列を右辺で置き換えた行列の det ÷ 係数行列の det」として求められます。3変数までなら手計算でも実用的ですが、変数が増えると掃き出し法のほうが速くなります。空間図形では3本のベクトルが作る平行六面体の体積が |det| で、四面体はその6分の1です。3点が同一直線上にあるか、4点が同一平面上にあるかの判定にも使えます。解析ではヤコビアンとして変数変換の体積の拡大率を表し、固有値がすべて分かっていればその積が det に一致します。

よくある間違い・注意点

• サラスの方法を4×4以上に使う — たすき掛けの図式が成り立つのは2次と3次だけです。4次以降は余因子展開か上三角化に切り替えないと、まったく違う値になります。
• det＝0 を「解が存在しない」と読む — 一意に定まらないという意味であり、解が無い場合と無数にある場合の両方を含みます。どちらかは右辺まで見ないと判別できません。
• det の絶対値の小ささで特異性を判断する — 行列全体を定数倍すると det は3乗で変わります。値が小さいこと自体は逆行列の求めにくさを意味しません。条件数で見てください。
• 表示の 0.0000 を厳密な0と決めつける — 小数第4位で丸めた表示です。小数の成分を入れた場合は、丸めによって0に見えているだけのことがあります。
• 行と列を取り違えて入力する — このツールは a・b・c が1行目、d・e・f が2行目、g・h・i が3行目です。転置しても行列式の値は変わりませんが、途中の余因子や逆行列を追うときは対応がずれます。

参考資料

• 文部科学省 高等学校学習指導要領 — 数学科で扱うベクトル・行列関連の内容の範囲。
• 一般社団法人 日本数学会 — 数学用語と記法に関する国内の学会。
• 一般社団法人 日本応用数理学会 — 数値線形代数を含む応用数理分野の学会。
• NIST Digital Library of Mathematical Functions — 米国国立標準技術研究所による数学関数の公式ハンドブック。
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — 行列演算を含む数値手法の解説。
• LAPACK Users' Guide（netlib） — LU分解による行列式計算の標準的な実装と誤差の議論。
• BLAS（netlib） — 線形代数の基本演算の標準仕様。
• NumPy 公式ドキュメント numpy.linalg.det — LU分解を用いた行列式の実装仕様。
• SciPy 公式ドキュメント scipy.linalg.det — 同じく数値計算ライブラリでの定義と注意点。
• 独立行政法人 情報処理推進機構 情報処理技術者試験 — 出題範囲に含まれる線形代数の基礎。

※表示は小数第4位までの丸めです。厳密な値が必要な場合や、条件の悪い行列を扱う場合は、数値計算ライブラリや数式処理系で検算してください。

よくある質問（FAQ）

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