双曲線関数 計算ツール｜sinh・cosh・tanh と逆関数、値表・微分・工学応用

定義式と指数関数表現

基本定義

sinh(x) = (eˣ − e⁻ˣ) / 2

cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ) / 2

tanh(x) = sinh(x) / cosh(x) = (eˣ − e⁻ˣ) / (eˣ + e⁻ˣ)

coth(x) = 1 / tanh(x) ／ sech(x) = 1 / cosh(x) ／ csch(x) = 1 / sinh(x)

双曲線関数は指数関数 eˣ の対称成分・反対称成分として定義されます。sinh は奇関数(sinh(-x) = -sinh(x))、cosh は偶関数(cosh(-x) = cosh(x))で、両者の和は eˣ、差は e⁻ˣ に等しくなります(eˣ = cosh(x) + sinh(x))。

幾何学的定義

単位円 x²+y²=1 から三角関数(cos,sin)が定義されるように、双曲線 x²−y²=1 の右枝上の点を(cosh(t), sinh(t))と表現できます。ここで t は原点と点(cosh(t),sinh(t))および(1,0)で囲まれる領域の面積の2倍に対応する双曲線角です。

オイラー公式との関係

cos(x) = cosh(ix) ／ sin(x) = −i·sinh(ix)

複素数を経由すると、双曲線関数と三角関数は同一の関数の実軸・虚軸方向への展開として統合されます。オイラーの公式 e^(ix) = cos(x) + i sin(x) と対応する関係で、複素解析・電気工学の交流回路解析に多用されます。

三角関数との対比

形式的にはほぼ相似の代数構造を持ち、加法定理・倍角公式・微分積分にも並列した公式群が存在します。工学分野では「双曲線関数は非周期振動・指数減衰・カテナリー曲線を扱う三角関数」と理解すると位置付けが明確になります。

主要値の早見表

実務で頻用する主要値をまとめました。値は小数点以下6桁を掲載。

x=3 で tanh は既に 0.995 に達し、以後急速に 1 に漸近します。ニューラルネットのtanh活性化で「勾配消失」が起こる典型的な領域です。

恒等式・加法定理・倍角公式

基本恒等式

cosh²(x) − sinh²(x) = 1

1 − tanh²(x) = sech²(x)

coth²(x) − 1 = csch²(x)

加法定理

sinh(x±y) = sinh(x)cosh(y) ± cosh(x)sinh(y)

cosh(x±y) = cosh(x)cosh(y) ± sinh(x)sinh(y)

tanh(x±y) = (tanh(x)±tanh(y)) / (1±tanh(x)tanh(y))

三角関数の加法定理と比較すると、cosh の加法定理で符号が「+」になる点、tanh の分母が「1±」になる点(三角関数は「1∓」)が異なります。混同しやすいので暗記時は注意が必要です。

倍角・半角公式

sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)

cosh(2x) = cosh²(x) + sinh²(x) = 2cosh²(x)−1 = 1+2sinh²(x)

tanh(2x) = 2 tanh(x) / (1 + tanh²(x))

微分・積分公式

微分

d/dx sinh(x) = cosh(x)

d/dx cosh(x) = sinh(x)

d/dx tanh(x) = sech²(x) = 1 − tanh²(x)

d/dx coth(x) = −csch²(x)

d/dx sech(x) = −sech(x)·tanh(x)

d/dx csch(x) = −csch(x)·coth(x)

tanh の微分が「1 − tanh²」で書けるため、ニューラルネットの誤差逆伝播で計算が高速化される特徴があります。

積分

∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C

∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C

∫ tanh(x) dx = ln|cosh(x)| + C

∫ sech²(x) dx = tanh(x) + C

∫ 1/√(x²+1) dx = arsinh(x) + C

∫ 1/√(x²−1) dx = arcosh(x) + C（x>1）

逆双曲線関数

arsinh(x) = ln(x + √(x²+1))

arcosh(x) = ln(x + √(x²−1))　（x ≥ 1）

artanh(x) = (1/2) ln((1+x)/(1−x))　（|x| < 1）

逆双曲線関数は「エリア関数(area functions)」とも呼ばれ、記号は arsinh, arcosh, artanh(または asinh, acosh, atanh)が国際的な標準です。ISO 80000-2「量及び単位－第2部：数学的記号」で規定されています。「sinh⁻¹」表記は −1乗と紛らわしいため、学術論文・技術文書では arsinh 表記を推奨されます。

微分

d/dx arsinh(x) = 1 / √(x²+1)

d/dx arcosh(x) = 1 / √(x²−1)　（x>1）

d/dx artanh(x) = 1 / (1−x²)　（|x|<1）

マクローリン展開

sinh(x) = x + x³/3! + x⁵/5! + x⁷/7! + ...

cosh(x) = 1 + x²/2! + x⁴/4! + x⁶/6! + ...

tanh(x) = x − x³/3 + 2x⁵/15 − 17x⁷/315 + ...

三角関数のマクローリン展開と比べ、双曲線関数は全て「+」の交互和(cosh/sinh)、tanh は係数のパターンが複雑(ベルヌーイ数を含む)。原点近傍の高速な数値計算や、arsinh, artanh の実装で利用されます。|x|<1 の範囲で急速に収束するため、実装ライブラリでは |x| が小さい領域で級数展開、大きい領域で漸近展開を切り替えて桁落ちを回避します。

工学・物理・機械学習の応用

よくある間違い・注意点

• 三角関数の加法定理と混同 — cosh(x+y)=cosh·cosh+sinh·sinh(符号+)。三角関数の cos(x+y)=cos·cos−sin·sin と符号が異なるため、暗記時の混同が頻発します。
• arcosh の定義域を忘れる — arcosh(x) は x≥1 でしか実数値を返しません。cosh の値域が[1,∞)であることに対応。JavaScriptの Math.acosh(0.5) は NaN を返します。
• artanh を |x|=1 で計算 — artanh(1)=∞、artanh(-1)=-∞ で発散します。ロジット計算等で確率0や1に近い値を入力すると桁溢れするため、微小εでクリッピングが必要。
• sinh⁻¹ 表記の誤解 — 数式中の sinh⁻¹(x) は「sinh の逆関数」であり、1/sinh(x) の意味ではありません。混同を避けるため学術文書では arsinh 表記が推奨。
• 大きな x での桁落ち — sinh(x)、cosh(x) は x=20 で約2億、x=50 で約2.6×10²¹ と急激に増大し、64bit浮動小数点でオーバーフロー。実装では対数変換または漸近展開で回避します。
• tanh(0)=1 と勘違い — tanh(0)=0 です。tanh は原点で0、無限遠で±1に漸近するS字曲線。cosh(0)=1 と混同しないでください。
• coth(0) の未定義 — coth(0) = 1/tanh(0) = 1/0 で未定義。x=0近傍で発散するため、実装で扱う際は例外処理が必要。

関連する規格・記法

• ISO 80000-2 ― 量及び単位－第2部：数学的記号(Quantities and units — Part 2: Mathematics)。双曲線関数の記号 sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch、および逆関数 arsinh, arcosh, artanh 等の国際標準記法。
• JIS Z 8201 ― 数学記号。ISO 80000-2の国内対応規格。
• IEEE 754 ― 浮動小数点演算標準。sinh, cosh 実装時のオーバーフロー・アンダーフロー処理の根拠。
• IEC 60027-2 ― 電気工学用文字記号。伝送線路方程式で使用する双曲線関数の使用ルール。
• C99/C++11 標準ライブラリ ― math.h/cmath ヘッダの sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh 関数を規格化。

参考文献・公的資料

より正確な公式・値表・応用例を確認したい場合は、以下の公的機関・学会の資料を参照してください。

• NIST Digital Library of Mathematical Functions §4.28 Hyperbolic Functions ― 米国国立標準技術研究所(NIST)による特殊関数の公式標準。定義・恒等式・級数展開・積分表を網羅。
• Wolfram MathWorld Hyperbolic Functions ― 双曲線関数の総合解説。グラフ・恒等式・応用例が豊富。
• ISO 80000-2 Mathematical signs and symbols ― 数学記号の国際標準。双曲線関数の推奨記法。
• 日本応用数理学会 ― 応用数学・数値解析の学会。特殊関数の数値実装に関する論文。
• 日本数学会 ― 数学の総合学会。教育向け解説を含む岩波「数学辞典」の発行元。
• cppreference.com C++ std::sinh ― C++標準ライブラリの sinh/cosh/tanh の仕様。IEEE 754準拠の挙動。
• PyTorch torch.tanh ― 機械学習フレームワークの tanh 活性化関数実装。深層学習応用の参照。
• NumPy numpy.sinh ― 科学計算Pythonライブラリの双曲線関数実装仕様。

よくある質問（FAQ）

関連計算ツール