階乗 計算ツール
階乗の詳しい解説
階乗はnから1までの整数をすべて掛け合わせた値で、n!と表記します。5!は5×4×3×2×1で120です。0!は1と定義されており、これは空積の規約によるものです。階乗は組み合わせと順列の計算に不可欠で、n個のものを並べる順列の総数がn!にあたります。増加の速さが極端で、10!は約363万、20!は約2.4×10¹⁸、70!でおよそ10¹⁰⁰を超えます。倍精度浮動小数点数で表現できるのは170!までで、171!以降は無限大として扱われます。この急激な増加は、組み合わせ最適化問題の難しさを説明する際にも使われます。10都市の巡回セールスマン問題なら経路は9!通りですが、20都市では19!通りとなり、総当たりでの計算が現実的でなくなります。
このツールの使い方
階乗を求めたい整数を入力すると、その値が指数表記で表示されます。171以上では表現できる範囲を超えるため無限大と表示されます。順列・組み合わせの計算、確率論の学習、アルゴリズムの計算量を考える際の参考にお使いください。
よくある間違い・注意点
- 0!を0と考える — 0!は1と定義されています。組み合わせの公式が整合するようにするための規約です。
- 大きな数で正確な値を期待する — 20!を超えると倍精度浮動小数点数では誤差が出ます。正確な値には多倍長演算が必要です。
よくある質問（FAQ）
なぜ0!は1なのですか？
n!＝n×(n−1)!の関係を1!＝1×0!に当てはめると0!＝1になります。組み合わせの公式との整合性も理由です。
階乗はどこで使いますか？
順列・組み合わせの計算、確率分布（ポアソン分布など）、テイラー展開の係数など幅広く使われます。
171!が計算できないのはなぜですか？
倍精度浮動小数点数で表現できる最大値（約1.8×10³⁰⁸）を超えるためです。
※本ツールの計算結果は概算です。税務・医療・法律にかかわる判断は、税理士・医師・弁護士など専門家にご相談ください。