2×2固有値計算機｜行列の特性方程式・固有ベクトル・PCA/振動モードの応用

固有値の定義と特性方程式

固有値・固有ベクトルの定義

固有値(Eigenvalue)は、行列 A と非ゼロベクトル v に対して Av = λv を満たすスカラー λ です。ベクトル v は固有ベクトル(Eigenvector)と呼び、行列変換で「方向が変わらず伸縮のみされる特別な方向」を表します。線形変換の本質的な構造を捉える最重要概念で、機械学習・物理・経済のあらゆる分野に登場します。

特性方程式(Characteristic Equation)

det(A − λI) = 0

2×2行列 A = [[a,b],[c,d]] では、これを展開すると:

λ² − (a+d)λ + (ad − bc) = 0
すなわち
λ² − tr(A)λ + det(A) = 0

tr(A) = a+d はトレース(対角和)、det(A) = ad-bc は行列式。この二次方程式の解が固有値です。

解の公式

λ = ( tr(A) ± √( tr(A)² − 4·det(A) ) ) / 2

tr² − 4·det が判別式で、この符号によって固有値の性質が決まります。

ヴィエータの定理

λ₁ + λ₂ = tr(A) = a + d
λ₁ × λ₂ = det(A) = ad − bc

2固有値の和はトレース、積は行列式に一致します。計算ミスの検算に頻用されます。

判別式による3分類

判別式 D = tr(A)² − 4·det(A) の符号で固有値の性質が3つに分類されます。

D>0の場合は固有ベクトルが2本存在し、行列は対角化可能です。D=0は特殊で、対称行列でない限り対角化できないことがあります。D<0は実数の固有ベクトルが存在せず、複素数の世界で処理する必要があります。

代表的な行列と固有値

対称行列 A = [[2,1],[1,2]]

tr(A) = 4、det(A) = 3、判別式 D = 16 - 12 = 4 > 0。固有値 λ = (4 ± 2)/2 = 3, 1。対称行列なので固有ベクトルは直交(v₁=(1,1)/√2, v₂=(1,-1)/√2)。

単位行列 I = [[1,0],[0,1]]

tr = 2, det = 1, D = 0。重複固有値 λ = 1, 1。全ての方向が固有ベクトル(恒等変換)。

回転行列(45度) R = [[cos45°, -sin45°], [sin45°, cos45°]]

tr = √2, det = 1, D = 2 - 4 = -2 < 0。複素固有値 λ = cos45° ± i sin45° = e^(±iπ/4)。実数の固有ベクトルは存在せず、回転を表現。

せん断行列 [[1,1],[0,1]]

tr = 2, det = 1, D = 0。重複固有値 λ = 1, 1。ただし固有ベクトルは1本のみ(1,0)^T で、対角化不可能。ジョルダン標準形が必要な典型例。

反射行列 [[1,0],[0,-1]]

tr = 0, det = -1, D = 4 > 0。異なる固有値 λ = 1, -1。x軸方向は不変(λ=1)、y軸方向は反転(λ=-1)。x軸に関する反射変換。

射影行列 [[1,0],[0,0]]

tr = 1, det = 0, D = 1 > 0。固有値 λ = 1, 0。x軸への正射影を表現。det=0は特異(非可逆)行列を示す。

マルコフ遷移行列 [[0.7, 0.3],[0.4, 0.6]]

tr = 1.3, det = 0.30, D = 0.49 > 0。固有値 λ = 1.0, 0.3。λ=1に対応する固有ベクトルが定常分布を与える(マルコフ連鎖理論)。

固有ベクトルの求め方

手順

固有値 λ₁, λ₂ が求まったら、(A − λI)v = 0 を解いて固有ベクトルを求めます。

(A - λI) v = 0
(a-λ) v₁ + b v₂ = 0
c v₁ + (d-λ) v₂ = 0

これらは1次従属なので、どちらか1つの式から v₂/v₁ の比を求め、任意のスカラー倍で v を得ます。通常はノルム1に正規化してから記載します。

例:A = [[2,1],[1,2]] の場合

λ₁ = 3 のとき: (a-λ) = -1, b = 1 なので -v₁ + v₂ = 0 → v₂ = v₁。v₁ = (1, 1)/√2 ≈ (0.707, 0.707)。
λ₂ = 1 のとき: (a-λ) = 1, b = 1 なので v₁ + v₂ = 0 → v₂ = -v₁。v₂ = (1, -1)/√2 ≈ (0.707, -0.707)。

2つの固有ベクトルは互いに直交(v₁·v₂ = 0)します。これは対称行列の重要な性質です。

対称行列の性質

対称行列(A^T = A、b = c)は数学・応用の両面で最重要のクラスです。以下の強力な性質があります。

応用分野(PCA/振動/マルコフ)

よくある間違い・注意点

• 非対称行列でも複素固有値は誤解 — 非対称行列(b ≠ c)では複素固有値になり得ます。実行列だからといって固有値も実数と決めつけないでください。判別式 D = tr² - 4·det が負なら共役複素対 α ± βi です。
• 固有ベクトルは正規化しないと不定 — Av = λv を満たすベクトル v は任意のスカラー倍が可能なため、通常はノルム1に正規化してから表記します。数値計算ソフト(NumPy・MATLAB)の出力も正規化済み。教科書と符号が違うのはこの理由です。
• 重複固有値で固有ベクトルが2本と誤解 — 重複固有値の場合、対称行列なら固有ベクトル空間が2次元(全ベクトルが固有ベクトル)ですが、非対称のせん断行列などでは固有ベクトルが1本しか存在しないケースがあります。ジョルダン標準形が必要になります。
• 行列式=0のとき固有値0を見落とす — det(A)=0 なら少なくとも1つの固有値は0で、行列は特異(非可逆)。行列式が0なら「0はいつでも固有値」と覚えておくと計算チェックに便利です。
• 数値計算と解析解を混同 — 2×2は解析解(二次方程式)で厳密に求まりますが、3×3以上は一般に数値法(QR分解、Jacobi法)が必要です。厳密解と数値近似解を混同しないよう注意してください。
• 複素固有値のノルムを間違える — 複素固有値 α + βi の絶対値は √(α² + β²) で、これがスペクトル半径。実部だけを見ると安定性判定を誤ります。制御工学の安定性は実部の符号で判定します。
• tr(A) と det(A) の記憶違い — tr(A) = a + d(対角和)、det(A) = ad - bc(たすき掛け)。順序と符号を頻繁に間違えるため、λ₁ + λ₂ = tr, λ₁ × λ₂ = det の対応で検算を推奨します。

関連する定理・数学分野

• スペクトル分解定理(スペクトル定理) ― 対称(エルミート)行列は直交(ユニタリ)行列で対角化可能。A = QΛQ^T。PCAの数学的基礎。
• フロベニウス-ペロン定理 ― 非負行列の最大固有値は実数で、対応する固有ベクトルの成分も非負。マルコフ連鎖・経済成長モデル・PageRankの根本定理。
• ケーリー-ハミルトン定理 ― 行列 A は自身の特性多項式を満たす。2×2なら A² - tr(A)A + det(A)I = 0。行列の高次冪計算に有用。
• シルヴェスターの慣性法則 ― 対称行列の合同変換で固有値の正負負の個数は不変。二次形式の分類に使用。
• ゲルシュゴリンの円板定理 ― 固有値の存在範囲を各行の対角要素中心の円板で評価。数値解析での固有値推定に頻用。
• ジョルダン標準形 ― 対角化できない行列を「ジョルダン細胞」の対角行列に変換。重複固有値で固有ベクトル不足の場合の標準形。
• 特異値分解(SVD) ― 任意の行列の一般化スペクトル分解。A = UΣV^T。機械学習・画像圧縮・推薦システムで頻用。
• クリロフ部分空間法 ― 大規模行列の固有値近似(Lanczos法・Arnoldi法)。3×3以上の実問題で使用。

参考文献・学術資料

固有値解析の理論・応用の詳細を確認したい場合は、以下の学術資料・オンラインリソースを参照してください。

• Wolfram MathWorld: Eigenvalue ― 固有値の定義・性質・具体例の百科事典的リファレンス。数値例と公式が豊富。
• MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra ― Gilbert Strang教授による線形代数の講義動画・演習・教科書。世界標準のリファレンス。
• Wikipedia: Eigenvalues and eigenvectors ― 固有値・固有ベクトルの多言語解説。歴史・応用・数値算法の網羅的な入門資料。
• NumPy Documentation numpy.linalg.eig ― Pythonで行列の固有値を計算するAPI。LAPACKベースの高精度実装。
• MATLAB Documentation eig ― MATLABの固有値計算関数。工学分野で標準的な数値解析ソフト。
• 日本数学会 ― 日本の数学研究者団体。学術論文・教科書の情報。
• 日本オペレーションズ・リサーチ学会 ― マルコフ連鎖・産業連関等の応用数学の学会。
• 日本数式処理学会 ― Wolfram Mathematica・Maple・SymPy等の数式処理ソフトによる固有値計算研究。
• Gilbert Strang「Introduction to Linear Algebra」 ― 線形代数の世界標準教科書(第6版)。固有値・特異値分解の詳細解説。
• arXiv 線形代数(math.LA) ― 線形代数の最新研究論文プレプリント。行列理論・数値線形代数の学術情報。

よくある質問（FAQ）

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