関数の瞬間変化率を求める操作。幾何学的には接線の傾き、物理学的には時間による瞬間的な変化量。位置→速度→加速度など変化の速さを表す共通言語。

合成関数f(g(x))の微分：{f(g(x))}'=f'(g(x))×g'(x)。外側微分×内側微分の順。sin(x²)ならcos(x²)×2x。機械学習の誤差逆伝播の基礎。

数学微積分高校数学II/III大学入試

微分計算ツール｜多項式の導関数・接線方程式・極値判定を一発算出

Q: x^nの微分公式は？

(xⁿ)'=n×x^(n−1)。x³なら3x²、x⁴なら4x³。指数nを前に降ろし指数を1減らす。負・分数指数にも同じ公式。

Q: 積の微分と商の微分の違いは？

積:{fg}'=f'g+fg'(足し算)。商:{f/g}'=(f'g−fg')/g²(引き算)。似た形で混同注意、商は分母g²で割る。

Q: 2階微分f''(x)の意味は？

導関数f'(x)をさらに微分。f''>0で下に凸、f''<0で上に凸。物理では加速度、経済では限界費用の変化率など。

Q: 極値と最大値の違いは？

極値は局所的な最大/最小、最大値/最小値は定義域全体での大域的な最大/最小。閉区間では極値と端点値の最大を比較。

Q: 接線の方程式の書き方は？

点(a,f(a))での接線はy=f(a)+f'(a)(x−a)。法線は傾き−1/f'(a)でy=f(a)−(1/f'(a))(x−a)。

Q: 物理で微分はどう使う？

位置→速度→加速度、電荷→電流、コイル電圧V=L·di/dt。運動方程式・マクスウェル方程式・熱伝導方程式は全て微分方程式。

Q: 機械学習で微分はどこで使う？

損失関数の勾配を計算しパラメータを更新する勾配降下法・バックプロパゲーション。PyTorch/TensorFlowの自動微分がChatGPTから自動運転まで支える。

Q: 微分不可能な関数は？

|x|はx=0で左右の傾きが異なり微分不可能。ワイエルシュトラス関数は全点で連続だが全点で微分不可能。微分可能性は連続性より強い条件。

最大5次までの多項式の微分(導関数f'(x))・2階微分f''(x)を即時計算。任意のx点での接線の方程式・傾き・関数値・凹凸判定(極大/極小/変曲点)まで一発表示します。x^n の微分・sin/cos/tan・指数関数e^x・対数関数ln xの基本公式、連鎖律(チェーンルール)・積の微分・商の微分の解説、物理(速度=位置の微分・加速度=速度の微分)・経済(限界費用・限界収入)・機械学習(勾配降下法・バックプロパゲーション)・幾何(接線/法線)への応用まで、文部科学省の高等学校学習指導要領・日本数学会の教育カリキュラムに準拠した高品質な無料ツールです。

最終更新：2026-07-26／監修：計算ツールズ編集部

多項式微分計算機

5次の係数 a₅

4次の係数 a₄

3次の係数 a₃

2次の係数 a₂

1次の係数 a₁

定数 a₀

x の値（傾き計算）

微分の基本公式

関数 f(x)	導関数 f'(x)
定数 c	0
x	1
x²	2x
x³	3x²
xⁿ	n × x^(n−1)
√x = x^(1/2)	1/(2√x)
1/x = x⁻¹	−1/x²
sin x	cos x
cos x	−sin x
tan x	1/cos²x = sec²x
eˣ	eˣ
aˣ	aˣ × ln(a)
ln x	1/x
log_a x	1/(x × ln(a))
arctan x	1/(1+x²)

微分の意味と定義(極限)

f'(x) ＝ lim_{h→0} [f(x+h) − f(x)] / h

微分の厳密な定義は「hが0に限りなく近づくときの平均変化率の極限」です。幾何学的には「x点における接線の傾き」、物理学的には「瞬間変化率」を意味します。速度は位置の時間微分、加速度は速度の時間微分、電流は電荷の時間微分、限界費用は総費用の生産量微分と、様々な分野で「変化の速さ」を表す共通言語として機能します。

導関数 f'(x) ― x点での接線の傾き。関数の増減を表す。
瞬間変化率 ― 物理では速度・電流・角速度など。
極値判定 ― f'(x)=0 となる点で極大値・極小値の候補。
凹凸 ― f''(x)>0 で下に凸、f''(x)<0 で上に凸。
変曲点 ― f''(x)=0 かつ符号が変わる点。凹凸が入れ替わる。

連鎖律・積の微分・商の微分

【連鎖律(チェーンルール)】
{f(g(x))}' ＝ f'(g(x)) × g'(x)

【積の微分(ライプニッツ則)】
{f(x)·g(x)}' ＝ f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

【商の微分】
{f(x)/g(x)}' ＝ (f'(x)·g(x) − f(x)·g'(x)) / g(x)²

連鎖律は複雑な合成関数の微分を可能にする最重要ルールで、機械学習のバックプロパゲーション(誤差逆伝播)の数学的基礎でもあります。積の微分は「片方微分×他方そのまま + 他方微分×片方そのまま」の対称性を持ち、暗記しやすい形です。

重要な導関数一覧(応用)

関数	導関数
sin(ax+b)	a·cos(ax+b)
cos(ax+b)	−a·sin(ax+b)
e^(ax)	a·e^(ax)
ln(ax+b)	a/(ax+b)
(f(x))ⁿ	n·(f(x))^(n−1)·f'(x)
sin²x	2·sinx·cosx = sin 2x
e^(x²)	2x·e^(x²)
arcsin x	1/√(1−x²)
arccos x	−1/√(1−x²)

極値判定・凹凸・変曲点

関数の増減表を書く際の判定ルールを整理します。

f'(x) = 0 となる x が極値候補(臨界点)。
f'(x) の符号が + → − に変わる点で極大。
f'(x) の符号が − → + に変わる点で極小。
f''(x) > 0 ならその点で下に凸(極小の可能性大)。
f''(x) < 0 ならその点で上に凸(極大の可能性大)。
f''(x) = 0 かつ符号が変わる点で変曲点(凹凸の変化点)。

2階微分による判定は「2階微分判定法」と呼ばれ、極値候補が極大か極小かを迅速に判断できます。ただしf''(x)=0となる場合は増減表による確認が必要です。

接線・法線の方程式

接線：y ＝ f(a) + f'(a)·(x − a)
法線：y ＝ f(a) − (1/f'(a))·(x − a) ※f'(a) ≠ 0

x = a における接線は「y切片 f(a) を通り、傾き f'(a) の直線」。法線は接線に垂直な直線で、傾きは接線の傾きの負の逆数になります。CAD/3Dグラフィックス・光学(レンズ設計)・物理(反射・屈折の法則)で頻用されます。

実務・研究での応用シーン

大学入試(共通テスト・二次)

高校数学IIで多項式の微分・接線・極値、数学IIIで一般関数(分数・無理・三角/指数/対数)の微分・グラフ描画・応用。医学部・難関理系の二次試験では、微分方程式・平均値の定理・グラフ考察の複合問題が頻出。

物理(運動・電気・熱)

速度v(t) = dx/dt、加速度a(t) = dv/dt、電流i(t) = dq/dt、電圧V = L·di/dt(コイル)、熱流束q = −k·dT/dx(フーリエの法則)。運動方程式・マクスウェル方程式・熱伝導方程式は全て微分方程式。

経済学・ファイナンス

限界費用(MC)= dTC/dQ、限界収入(MR)= dTR/dQ、需要の価格弾力性、利潤最大化条件(MR=MC)、投資評価のNPV最大化。ミクロ経済学・金融工学の実質は微分計算です。

機械学習・深層学習

損失関数の勾配降下法(SGD)、バックプロパゲーション(誤差逆伝播)、Adam等の最適化アルゴリズム、GAN・拡散モデルの学習。PyTorch/TensorFlowの自動微分機能が現代AI基盤。

工学・制御・信号処理

PID制御(比例・積分・微分)、フィードバック制御、ローパス/ハイパスフィルタ、画像のエッジ検出(Sobelフィルタ)、自動運転の制御。振動解析・応答特性の設計に微分方程式が必須。

幾何・CAD・CG

曲線の接線・法線ベクトル、曲率、3Dモデルの法線マッピング、光線追跡(レイトレーシング)、CADの曲面設計(NURBS)、ロボットアームの逆運動学。ゲームエンジン・CADソフトの内部数学。

数値微分・自動微分(AI)

解析的に微分できない・複雑な関数では数値微分を用います。

前進差分 ― f'(x) ≒ [f(x+h) − f(x)]/h（誤差O(h)、単純）
中心差分 ― f'(x) ≒ [f(x+h) − f(x−h)]/(2h)（誤差O(h²)、より正確）
自動微分(Automatic Differentiation, AD) ― 計算グラフを辿って微分の連鎖律を自動適用。誤差なし。PyTorch/TensorFlow/JAXの中核技術。
記号微分 ― 数式を代数的に処理して導関数を導く。Mathematica/SymPy/Maxima等の数式処理ソフト。

深層学習ライブラリの自動微分は、任意のニューラルネットワークの誤差勾配を効率的に計算するAI基盤技術で、ChatGPT・画像生成モデル・自動運転AIまで、全ての現代機械学習を支えています。

よくある間違い・注意点

微分不可能点の見落とし — |x|は x=0 で微分不可能(左右の傾きが異なる)。tan x は π/2+nπ で発散。関数の連続性と微分可能性を混同しないよう注意です。
連鎖律の外側微分・内側微分の順序 — {sin(x²)}' = cos(x²)·2x で、外側(sin)を微分してから内側(x²)の微分を掛けます。外側の微分に内側の関数(x²)を残すのが重要。
積の微分公式の暗記ミス — {fg}' = f'g + fg' で「両方微分して足す」のではなく「片方だけ微分」を交互に足します。似た形の商の微分(引き算)と混同しやすい。
f'(x)=0 の点全てが極値ではない — 例：f(x) = x³ は f'(0)=0 だが極値ではない(単調増加中に接線水平)。増減表かf''(x)判定で必ず確認します。
2階微分の凹凸判定の限界 — f''(a)=0 かつ f''(a) の符号が変わらなければ、極値ではなく変曲点でもない場合があります。より高次の微分で判定します。
合成関数の内側の関数の微分忘れ — 例：{(x²+1)³}' で、内側 x²+1 の微分 2x を忘れて 3(x²+1)² と答えるのが定番のミス。正解は 3(x²+1)²·2x = 6x(x²+1)²。
大学入試での書式・記号 — f'(x), df/dx, dy/dx は同じ意味ですが、問題によって指定される表記を守ります。dy/dx を「dy割るdx」と解釈しないよう注意(記号として不可分)。

参考文献・公的資料（発リンク）

より深く学びたい方は以下の公的機関・学会・教育団体の一次資料を参照してください。

文部科学省高等学校学習指導要領 ― 数学I・II・III・A・Bの学習範囲を規定する国家基準。
独立行政法人大学入試センター(DNC) ― 共通テストの過去問・出題方針・平均点データ。
一般社団法人日本数学会(MSJ) ― 日本の数学研究・教育の代表学会。
Wolfram MathWorld: Derivative ― 微分・導関数・多変数偏微分の数学百科事典。
Wolfram Alpha ― 記号微分・数値計算・グラフ描画に対応する計算エンジン。
American Mathematical Society (AMS) ― 米国数学会。数学研究の国際的な情報源。
OEIS - オンライン整数列大辞典 ― 微分と関連する数列(ベルヌーイ数等)の百科事典。
NIST Digital Library of Mathematical Functions ― 米国立標準技術研究所の特殊関数・微分公式集。
情報処理推進機構(IPA) 応用情報技術者試験 ― 数値微分・最適化アルゴリズムの応用範囲。
日本情報オリンピック(JOI) ― 高校生プログラミング競技会。最適化問題で微分応用の教材。

※本ツールは5次までの多項式に限定し、原始関数を代数的に求めて表示します。JavaScriptの浮動小数点演算(IEEE 754倍精度)を用いるため有効桁数は約15〜17桁、極端に大きな値や小さな係数では丸め誤差が生じることがあります。大学入試・数学記述試験では途中式の丁寧な記述と、微分不可能点や f'(x)=0 だが極値でない点の場合分けが採点対象です。厳密な記号計算にはWolfram Alpha・SymPy・Mathematicaなどの数式処理ソフトを併用してください。機械学習で自動微分を扱う場合はPyTorch・TensorFlow・JAXなど専用フレームワークを推奨します。

よくある質問（FAQ）

微分とは何？

関数の瞬間変化率を求める操作です。幾何学的には「その点での接線の傾き」、物理学的には「時間による瞬間的な変化量」を意味します。位置を時間で微分すると速度、速度を微分すると加速度と、様々な分野で「変化の速さ」を表す共通言語です。

x^n の微分公式は？

(xⁿ)' ＝ n × x^(n−1)。x³なら3x²、x⁴なら4x³。指数nを前に降ろし、指数を1減らします。負の指数(1/x=x⁻¹)や分数指数(√x=x^0.5)にも同じ公式が使えます。多項式微分の基礎中の基礎です。

連鎖律(チェーンルール)とは？

合成関数f(g(x))の微分公式：{f(g(x))}' = f'(g(x)) × g'(x)。「外側微分×内側微分」の順で計算します。sin(x²)なら cos(x²)×2x。複雑な関数を分解して計算できる強力な武器で、機械学習の誤差逆伝播の数学的基礎でもあります。

積の微分と商の微分の違いは？

積の微分：{fg}' = f'g + fg'(足し算)。商の微分：{f/g}' = (f'g − fg')/g²(引き算)。似た形なので混同しやすいですが、商は分母のg²で割る点、順序(f'gが先)が重要な違いです。

2階微分f''(x)の意味は？

「導関数f'(x)をさらに微分したもの」。f''(x)>0で下に凸(コーヒーカップ形)、f''(x)<0で上に凸(帽子形)。物理では加速度(位置の2階時間微分)、経済では限界費用の変化率など、変化の変化を表す指標として重要。

極値と最大値の違いは？

極値はその点の近傍で最大/最小(局所的)、最大値/最小値は定義域全体での最大/最小(大域的)。閉区間[a,b]で最大値は「極大値または端点値の最大」となります。大学入試では両方の確認が必須。

接線の方程式の書き方は？

点(a, f(a))における接線はy = f(a) + f'(a)(x − a)。「y切片f(a)、傾きf'(a)の直線」です。法線(接線に垂直)は傾きが −1/f'(a) で y = f(a) − (1/f'(a))(x − a)。CAD・光学・物理の反射屈折で頻用。

物理で微分はどう使う？

位置x(t)を時間微分すると速度v = dx/dt、さらに微分すると加速度a = dv/dt。電流i = dq/dt、電圧V = L·di/dt。運動方程式F=ma、マクスウェル方程式、熱伝導方程式は全て微分方程式です。

機械学習で微分はどこで使う？

損失関数の勾配を計算し、パラメータを更新するのがニューラルネットワーク学習の本質(勾配降下法)。バックプロパゲーション(誤差逆伝播)は連鎖律の応用で、PyTorch/TensorFlow/JAXの自動微分機能がChatGPTから自動運転まで支える基盤技術です。

微分不可能な関数は？

連続だが微分不可能な例：|x| は x=0 で左右の傾きが異なるため微分不可能。ワイエルシュトラス関数は全ての点で連続だが全ての点で微分不可能な病的関数。微分可能性は連続性より強い条件です。

微分と積分の関係は？

微積分学の基本定理：微分と積分は互いに逆の操作。F'(x)=f(x)のとき∫ₐᵇf(x)dx = F(b)−F(a)。ニュートン(1665頃)とライプニッツ(1675)が発見し、微積分学(カルキュラス)の誕生を告げた歴史的定理です。

大学入試で頻出の微分問題は？

1. 接線の方程式、2. 極値・最大最小、3. 関数のグラフ描画(増減表)、4. 方程式の実数解の個数(グラフとx軸の交点)、5. 面積(定積分の応用)、6. 微分方程式(数学III以降)。共通テスト・二次試験ともに毎年出題される定番テーマです。