10m弦正矢と曲線半径の計算

計算式

曲線に弦を張ると、弦の中央と曲線の間に隙間ができます。これが正矢（せいし）で、弦長 L・半径 R のとき v＝L²／(8R) で求まります。L を m、v を mm で扱うと v＝L²×1000／(8R)、10m 弦なら v＝12,500／R という覚えやすい形になります。

逆に測定した正矢から半径を求めるには R＝L²×1000／(8v) です。既定値の 10m 弦・正矢 33.0mm では R＝100,000／264＝378.8m で、設計半径 400m での正矢 31.25mm と比べると ＋1.75mm の差になります。この差が通り変位で、整備基準の目安 23mm に対して十分小さい値です。緩和曲線では曲率が距離に比例して増えるため、始点から 30m（緩和曲線長 75m の 40%）の位置の曲率半径は 400／0.4＝1,000m、正矢は 12.50mm になります。

曲線半径と正矢（弦長別）

軌道変位の種類

※整備基準値は線区の等級・速度・事業者で異なります。実際の値は各社の整備基準で確認してください。

正矢法の特徴

※本ツールは一般に用いられる計算式による参考計算です。実際の設計・保守の値は、鉄道に関する技術上の基準を定める省令および各鉄道事業者の施設（建設）基準・整備基準に従ってください。

10m弦正矢と曲線半径の計算の詳しい解説

線路に沿って糸を張り、その中央でレール側面までの距離を測る。これが正矢法という、鉄道の保守で最も基本的な測定です。曲線では糸が弦になり、曲線の内側に隙間ができます。この隙間が正矢で、弦長の二乗を半径の 8倍で割った値になります。10m の弦を使う場合、正矢は 12,500 を半径で割った値（mm）という単純な関係になり、半径 400m なら 31.25mm、半径 1,000m なら 12.5mm です。器械を使わずに曲線の半径が分かるうえ、設計の正矢と測定値を比べればそのまま軌道の狂いが読めるため、現場で長く使われてきました。

この関係は、円の性質から導けます。半径 R の円に長さ L の弦を張ると、弦の中点から円弧までの距離は R−√(R²−(L／2)²) です。L が R に比べて十分小さいとき、平方根を展開すると L²／(8R) に収束します。10m 弦・半径 400m では厳密値と近似値の差は 0.001mm 未満で、実用上は完全に一致します。半径が弦長の 10倍を下回るような極端な急曲線でなければ、この近似で問題ありません。

測定した正矢と設計の正矢の差が通り変位です。軌道は列車の通過による荷重で少しずつ動き、直線であるべき場所が波打ち、曲線の半径が場所ごとに変わります。通り変位が大きいと横方向の動揺が増えて乗り心地が悪くなり、極端な場合は脱線の要因にもなります。整備基準値は線区の等級と速度で決まり、在来線の一般的な区間で ±23mm 程度が目安です。検測車はこの正矢と同じ考え方で連続的に測定し、波形として記録します。

正矢法には弦長による感度の違いという特性があります。10m 弦は短い波長のくぼみをよく捉えますが、数十mにわたる緩やかなうねりは弦ごと一緒に動いてしまうため検出しにくくなります。逆に 40m 弦は長い波長に敏感です。高速の線区では長波長の変位が乗り心地に効くため、長い弦での管理が重視されます。検測データを読むときは、どの弦長で測った値かを必ず確認してください。同じ軌道でも弦長が違えば変位の数値は変わります。

整正、つまり軌道を正しい位置に戻す作業では、正矢の差をそのまま移動量にはできません。ある点を横に動かすと、その点を中央とする弦の正矢だけでなく、隣接する点の正矢も変わるからです。実務では正矢の測定値の列から各点の移動量を計算する手法が使われ、マルチプルタイタンパーのような保守機械にはこの計算が組み込まれています。緩和曲線では正矢が直線的に変化するのが正しい姿で、既定値のように緩和曲線長 75m の 40% の位置では、円曲線部の正矢 31.25mm の 40% にあたる 12.50mm になります。測定した正矢を並べたときに直線的に増えていれば緩和曲線が正しく整備されている、という読み方ができます。

別の条件での計算例

20m 弦で半径 800m の曲線を測る場合、設計正矢は 400×1,000／(8×800)＝62.50mm です。測定値が 66.0mm だったとすると、そこから求まる半径は 400,000／(8×66)＝757.6m、通り変位は ＋3.50mm で、整備基準の目安 23mm に対して十分小さい値です。同じ軌道を 10m 弦で測ると設計正矢は 15.63mm しかなく、同じ 3.5mm の狂いでも見かけの比率は大きくなります。弦長が変われば正矢も変位の見え方も変わるので、検測データを比べるときは必ず弦長を揃えてください。半径 800m は 10m 弦では正矢 15.6mm と小さく、糸の張り方や読み取りの誤差 1mm が半径にして 50m 以上の差になります。半径の大きい曲線を現地で確認するときは、20m 弦や 40m 弦のほうが精度が上がります。

業界・現場での使い方

よくある間違い・注意点

• 弦長を確認せずに変位を比べる — 同じ軌道でも 10m弦と 20m弦では正矢が 4倍違います。基準も弦長ごとに定められています。
• 正矢の差をそのまま移動量にする — 1点動かすと隣接点の正矢も変わります。計算で配分します。
• 緩和曲線で円曲線の正矢と比べる — 緩和曲線では正矢が直線的に変化します。位置に応じた設計値と比べます。
• 長波長のうねりを 10m弦で探す — 10m弦は長い波長に鈍感です。40m弦や検測車の波形で確認します。
• 単位を取り違える — 弦長は m、正矢は mm です。式の 1000 倍を忘れると桁がずれます。

関連する規格・公的資料

• 国土交通省 鉄道局 — 鉄道の技術基準・施設の安全に関する制度
• 鉄道に関する技術上の基準を定める省令（e-Gov） — 線路・車両・運転の技術基準を定める省令
• 鉄道総合技術研究所（RTRI） — 軌道・車両・走行安全の研究機関
• 日本鉄道施設協会 — 鉄道の土木・軌道技術の団体
• 日本鉄道電気技術協会 — 鉄道の電気・信号技術の団体
• 鉄道建設・運輸施設整備支援機構（JRTT） — 鉄道建設の設計・施工基準
• 運輸安全委員会 — 鉄道事故の調査報告
• 土木学会 — 鉄道構造物の設計に関する学術資料
• 日本機械学会 — 車両力学・走行抵抗の学術資料
• 日本産業標準調査会（JISC） — JIS E 1101（普通レール）など鉄道関係の規格
• 日本規格協会（JSA） — JIS 規格票の発行
• 産業技術総合研究所 計量標準総合センター — 長さ・力・加速度の国家計量標準
• 鉄道に関する技術上の基準を定める省令（軌道の整備） — 軌道変位の管理に関する技術基準
• 鉄道総研 軌道検測と軌道管理 — 軌道変位の測定と評価
• 日本鉄道施設協会 軌道保守の技術 — 正矢法と整正計算の実務

※本ツールは公的基準に基づく参考計算です。医療・法務・税務の判断は最新の告示・規格および専門家の判断に従ってください。

よくある質問（FAQ）

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