三平方の定理 計算ツール

計算式と前提

a² + b² = c²（cは斜辺、直角は辺aと辺bのあいだ）

斜辺を求める： c ＝ √(a² + b²)　／　辺aを求める： a ＝ √(c² − b²)

面積 ＝ a × b ÷ 2　／　角A（辺aの対角） ＝ arctan(a ÷ b) を度に換算

既定値の「斜辺cモード・a=3・b=4」であれば、a²＝9.00、b²＝16.00、9＋16＝25 なので c＝5.0000、c²＝25.00、面積は3×4÷2＝6.00、角Aは arctan(3÷4)＝36.87度と表示されます。「辺a」モードに切り替えるとcとbから a＝√(c²−b²) を求め、面積・角度・各辺の2乗もすべて求めたaを使って再計算します。斜辺cが辺b以下だと直角三角形になり得ないため、その場合は「無効」と表示します。

ピタゴラス数と近似値の早見表

整数の組（ピタゴラス数）

6:8:10 は 3:4:5 を2倍しただけなので角度は同じ36.87度です。比が同じ組は相似で、角度も面積の比も決まります。

斜辺が整数にならない組

整数比にならない組では斜辺が無理数になります。表示は小数第4位までの丸めなので、そのまま次の計算に使うと桁が落ちます。正確に扱いたいときは √2 や √13 のまま持ち回してください。

三平方の定理が成り立つ理由と、実測で使うときの限界

a²＋b²＝c² が成り立つのは、この式が長さではなく面積の関係を述べているからです。直角をはさむ2辺の上に立てた正方形の面積を足すと、斜辺の上に立てた正方形の面積にちょうど等しくなります。より一般の三角形では余弦定理 c²＝a²＋b²−2ab·cosC が成り立ちますが、Cが90度のとき cosC がゼロになるので補正項が消え、三平方の定理の形に戻ります。つまり三平方の定理は余弦定理の特別な場合であり、直角という条件が外れた瞬間に成立しなくなります。斜辺が3辺のうち必ず最長になるのも、この補正項が負にならないことから説明できます。

実務で判断が分かれるのは、直角を出すために「どの長さで測るか」です。建築や日曜大工では3:4:5の比を使って直角を確認しますが、30cm・40cm・50cmで合わせるのと、3m・4m・5mで合わせるのとでは精度がまったく違います。メジャーの読み取り誤差を1mmとすると、辺が短いほどその1mmが角度に与える影響が大きくなり、角度の誤差はおおむね辺の長さに反比例して縮みます。可能な範囲でいちばん長い辺で合わせるのが定石です。もう一つの流儀は、直角を測らずに四角形の対角線2本を実測して長さを揃える方法で、こちらは基準辺を必要としない代わりに、平行四辺形にゆがんでいないかを別途確かめる必要があります。

見落とされやすいのは、単位と丸めの扱いです。この計算機は入力された数値の単位を判定しないので、aをセンチ、bをミリで入れても警告は出ません。さらに斜辺は多くの場合に無理数になり、表示は小数第4位までの丸めです。丸めた値をそのまま次の計算に入れると誤差が積み上がるので、途中の値は√の形か、より多い桁で保持してください。実測値から直角かどうかを判定する使い方にも注意が必要です。測定誤差がある以上 a²＋b² と c² が完全に一致することはまずなく、どこまでのずれを許容するかは用途ごとに決めるほかありません。

条件によって使える範囲も変わります。この定理が成り立つのは平らな面の上、いわゆるユークリッド幾何の世界に限られます。遠く離れた2地点の距離を緯度経度から出す場面では球面での計算が必要になります。立体では対角線が √(a²＋b²＋c²) に拡張されます。整数の組は無数にあり、互いに素な自然数m>nから a＝m²−n²、b＝2mn、c＝m²＋n² で作れます。なお本ツールが表示する面積と角Aは直角三角形であることを前提にしているため、直角でない三角形の3辺を入れても正しい値にはなりません。

よくある間違い・注意点

• 斜辺と他の辺を取り違える — cは必ず直角の向かい側にある最長の辺です。斜辺の位置を間違えると a²＋b²＝c² ではなく引き算の関係になり、答えが実際より大きく出ます。
• 単位を混ぜて入力する — cmとmm、mとcmを混ぜても計算機は警告しません。すべて同じ単位に揃えてから入力してください。面積は入力単位の2乗として読みます。
• 丸めた斜辺を次の計算に使う — 表示は小数第4位までです。√2や√13のような無理数を4桁で丸めて何度も掛け合わせると、誤差が目に見える大きさまで育ちます。
• 実測値で「a²＋b²＝c²」の一致を求める — 測定には必ず誤差があるので完全一致はしません。直角かどうかの判定は、許容できるずれの幅を先に決めてから行ってください。
• 直角でない三角形に使う — 直角がなければ余弦定理 c²＝a²＋b²−2ab·cosC が必要です。本ツールの面積と角Aも直角三角形を前提にしているため、そのままでは使えません。

参考になる公的資料

• 文部科学省 学習指導要領 — 中学校数学における三平方の定理の位置づけと扱う範囲。
• 国立教育政策研究所 — 全国学力・学習状況調査の数学問題と解説資料。
• 独立行政法人 大学入試センター — 大学入学共通テスト数学の出題範囲と過去問。
• 国土地理院 — 座標・距離の計算方法、平面直角座標系と測地系の解説。
• 公益社団法人 土木学会 — 測量・施工における寸法管理の考え方。
• 日本産業標準調査会（JISC） — 製図・寸法公差に関するJIS規格の検索。
• 産業技術総合研究所 計量標準総合センター — 測定の不確かさと長さの標準に関する解説。
• e-Gov法令検索 — 計量法における長さの単位（メートル）の定義。
• 一般社団法人 日本数学会 — 数学用語・記法に関する情報。
• 公益社団法人 日本測量協会 — 測量士試験の出題範囲と実務の基礎知識。

※本ツールは平面上の直角三角形を前提にした計算です。面積と角Aも直角三角形として算出しているため、直角でない三角形には使えません。

よくある質問（FAQ）

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