順列・組合せ計算(nPr・nCr)

階乗

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

5! = 120, 10! = 3,628,800, 0! = 1

順列(順序あり)

nPr = n! ÷ (n-r)! = n × (n-1) × ... × (n-r+1)

組合せ(順序なし)

nCr = n! ÷ (r! × (n-r)!) = nPr ÷ r!

重複順列

n^r = n × n × n × ... (r回)

重複組合せ

nHr = (n+r-1)Cr

階乗の値

身近な組合せ

順列・組合せ計算(nPr・nCr)の詳しい解説

順列・組合せは「場合の数」を数える数学の基本ツール。統計・確率・暗号・遺伝子・投票理論など幅広く応用されます。

順列と組合せの違い

「A・B・Cから2つ選ぶ」で、順列(順序あり)は6通り(AB/BA/AC/CA/BC/CB)、組合せ(順序なし)は3通り(AB/AC/BC)。

重複ありパターン

暗証番号のように「同じ数字を何度使ってもOK」の場合は重複順列(n^r)。「同じ種類を何個選んでもOK」なら重複組合せ((n+r-1)Cr)。

組合せ爆発

52枚からポーカー5枚選ぶ組合せは259万通り、ロト6の1等確率は約610万分の1と組合せ爆発。1等確率を上げるには複数口買うしかありません。

身近な応用

• ポーカー役の確率計算
• ロト・toto の当選確率
• 座席配置(会議・イベント)
• スケジュール組み合わせ
• 試験の出題パターン
• 暗証番号の総数(=総当り攻撃回数)

業界・現場での使い方

よくある間違い・注意点

• 順列と組合せ混同 — 順序が重要かで判断。座席=順列、選抜=組合せ。
• 重複ありなしの判別 — 同じものを何度でも選べる?で判断。
• 大きなn!のオーバーフロー — 171!以上はJavaScript標準では計算不可。
• 0!=1のルール忘れ — 空の階乗は1と定義(数学的合意)。

関連する規格・公的資料

• 文部科学省 — 日本の教育行政の主管官庁
• 国立国会図書館 — 公的資料の権威
• 総務省 統計局 — 国勢調査等の統計
• 日本統計学会 — 統計学の学術団体
• 日本数学会 — 数学の学術団体
• 大学入試センター — 共通テスト
• 経済産業省 — 経済政策
• 厚生労働省 — 厚生行政
• 日本教育社会学会 — 教育社会学
• 国立教育政策研究所 — 教育政策研究

※本ツールは公的基準に基づく参考計算です。医療・法務・税務の判断は最新の告示・規格および専門家の判断に従ってください。

よくある質問（FAQ）

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