二項分布計算機｜成功確率pでn回中k回成功する確率

二項分布確率とは

二項分布は「成功確率p、n回試行で何回成功するか」の確率分布です。コイン投げ・A/Bテスト・品質管理（不良率）など、成功/失敗の二値結果が連続する場面で使用されます。ベルヌーイ試行（各試行が独立で成功確率一定）を前提としており、期待値=np、分散=np(1-p)、標準偏差=√(np(1-p))で表される美しい構造を持ちます。統計学の教科書で最初に登場する離散分布の一つで、正規分布・ポアソン分布への近似関係も含めて理解しておく価値があります。

計算式と考え方

P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
期待値 E[X] = n × p
分散 V[X] = n × p × (1-p)
標準偏差 σ = √(n × p × (1-p))

n=10・p=0.5なら期待値5回、標準偏差1.58回。確率最大はk=5（24.6%）。C(n,k)は組合せ数（nCk）で、n回の試行から成功k回を選ぶ場所の選び方の総数。この場合分けの多さと、各場合の確率p^k(1-p)^(n-k)の積として全体の確率が構成されます。

公式の直感的理解

成功確率p、失敗確率(1-p)の試行がn回続くとき、特定の順序で「成功k回、失敗(n-k)回」となる確率はp^k×(1-p)^(n-k)。しかし成功が何番目に起きるかの順序は自由なので、その組合せ数C(n,k)を掛ける必要があります。この「順序は自由・回数だけ問題」という構造が二項分布の本質です。

計算例

1. n=10・p=0.5・k=6 → 約20.5%（コイン10回中6回表）
2. n=10・p=0.5・k=5 → 約24.6%（最頻値・期待値と一致）
3. n=100・p=0.1・k=10 → 約13.2%（不良率10%の製品100個中10個不良）
4. n=20・p=0.3・k=6 → 約19.2%（期待値と一致）
5. n=50・p=0.8・k=40 → 約13.9%

注意点・落とし穴

• 独立試行が前提：各試行の結果が他の試行に影響しないこと。連続性のあるプロセス（在庫抽出・品質検査で先の結果が後に影響する場合）では独立性が崩れる可能性がある。
• 成功確率pが一定：試行を通してpが変わらないことが前提。時系列で変化する場合は別モデル（時変二項・混合モデル）を検討。
• npq≥5なら正規近似可：np(1-p)が5以上なら正規分布N(np, np(1-p))で近似可能。この閾値は教科書によって10、15とされる場合もあり、精度要求次第。
• n大・p小ならポアソン近似：n→∞、p→0でnp=λ一定のとき、ポアソン分布Po(λ)に収束。稀事象（事故発生・システム障害）の統計解析で活用。
• 過分散データへの対応：実データで分散が理論値np(1-p)より大きい場合は準二項モデル・ベータ二項分布を検討。
• 累積確率P(X≤k)の計算：0からkまでの各確率を足し合わせる必要があり、手計算では大変。統計ソフト・関数電卓で計算するのが実務的。

3つの近似の使い分け

1. 正規近似：np(1-p)≥5、大標本一般用途。連続修正±0.5で精度向上。
2. ポアソン近似：n≥100かつp≤0.05。稀事象専用。
3. 厳密計算：小サンプル、高精度要求、境界値付近。

実務での使い方：ABテスト・品質管理

ABテストのサンプル設計

Webサイトのボタン色変更のCV率改善効果を測定したい場合を考えます。

• 既存版のCV率：5%（仮説）
• 新規版のCV率：7%（改善仮説）
• 有意水準：5%
• 検出力：80%
• 必要サンプル数（片群）：約1,000名
• 合計必要サンプル数：約2,000名
• 根拠：標本比率の差の検定は近似的に正規分布で行うが、根拠分布は二項分布

品質管理での不良率検定

ロット100個の製品検査で不良3個が発見された場合、母集団の不良率pが「主張された3%以下か否か」を検定します。

• 帰無仮説H0：p=0.03
• 対立仮説H1：p>0.03
• 検定統計量：不良個数 X
• B(100, 0.03)でP(X≥3)を計算 → 約58%
• 結論：有意水準5%では帰無仮説を棄却できない
• 解釈：「不良3個は3%不良率の下では珍しくない」

ワクチン有効性の評価

ワクチン接種群と非接種群それぞれ1000名で、感染者数を比較するとき、接種群の感染確率が有意に低いかを二項分布ベースの検定で評価します。

• 接種群感染者：50名 / 1000名 = 5%
• 非接種群感染者：150名 / 1000名 = 15%
• リスク比：5% / 15% = 0.33
• ワクチン有効率：1 - 0.33 = 67%
• 95%信頼区間の計算に二項分布を使用
• 近年のCOVID-19ワクチンの有効性評価で広く使用

マーケティング調査での応用

• 広告接触後の購入率検定
• アンケート回答率の予測
• 顧客離脱率のモニタリング
• ダイレクトメール開封率のA/Bテスト

理論的背景：二項分布の性質

モーメント

• 期待値：E[X] = np
• 分散：V[X] = np(1-p)
• 標準偏差：σ = √(np(1-p))
• 歪度：(1-2p)/√(np(1-p))
• 尖度：(1-6p(1-p))/(np(1-p)) + 3

母関数

• 確率母関数：G(z) = (pz + 1 - p)^n
• モーメント母関数：M(t) = (pe^t + 1 - p)^n
• 特性関数：φ(t) = (pe^it + 1 - p)^n

再生性

独立な二項分布X ~ B(n1, p)とY ~ B(n2, p)の和は再びB(n1+n2, p)に従います。この再生性が二項分布の重要な性質で、実務では複数期間・複数ロットの合算に活用されます。

ベルヌーイ分布との関係

ベルヌーイ分布B(1, p)がn回独立に加算されたものが二項分布B(n, p)。B(n, p) = X1 + X2 + ... + Xn（各XiはBernoulli(p)）と表現されます。中心極限定理により、n が大きくなると正規分布に収束することの根拠になります。

幾何分布・負の二項分布との関係

幾何分布は「初めて成功するまでの試行回数」、負の二項分布は「k回成功するまでの失敗回数」を表す分布で、二項分布と対をなします。用途に応じて使い分けが必要です。

典型的なp・nでの成功確率分布

ソフトウェア別の計算方法

Microsoft Excel

• =BINOM.DIST(k, n, p, FALSE)：P(X=k)を計算
• =BINOM.DIST(k, n, p, TRUE)：P(X≤k)を計算（累積確率）
• =BINOM.INV(n, p, α)：累積確率αとなる境界値kを計算
• 旧関数 =BINOMDIST も互換性のため使用可能

Google Sheets

• =BINOMDIST(k, n, p, cumulative)：Excelとほぼ同じ
• =CRITBINOM(n, p, α)：境界値算出

Python (SciPy)

from scipy.stats import binom
# P(X=k)
prob = binom.pmf(k, n, p)
# P(X≤k)
cdf = binom.cdf(k, n, p)
# 期待値・分散
mean, var = binom.stats(n, p, moments='mv')
# 乱数生成
sample = binom.rvs(n, p, size=1000)

R

# P(X=k)
prob <- dbinom(k, n, p)
# P(X≤k)
cdf <- pbinom(k, n, p)
# 境界値
q <- qbinom(alpha, n, p)
# 乱数生成
sample <- rbinom(1000, n, p)

関数電卓・スマホアプリ

• カシオfx-991EX：STAT機能で二項分布計算可能
• Wolfram Alpha：ブラウザで「binomial distribution n=10 p=0.5 k=6」と入力
• iOSアプリ：Statistics Calculator, Probability Distributions等

ありがちな計算ミス・落とし穴

ミス1：独立性の前提を見落とす

• 抽出時に「戻し」がないと独立でなくなる（超幾何分布が正解）
• 時系列データで自己相関があると独立性が崩れる
• クラスター化されたデータでは各観察が独立でない

ミス2：pを固定と仮定してよいかの検証不足

• 時期・地域・製造ロットでpが変動する場合、二項分布は不適切
• 実データではしばしば「過分散」が観察される（分散が理論値より大きい）
• ベータ二項分布・準二項回帰などの拡張モデルを検討

ミス3：累積確率と個別確率の混同

• P(X=k)とP(X≤k)は異なる
• 検定では通常P(X≥k)またはP(X≤k)を使う
• 両側検定ではP(|X-np|≥|k-np|)を使う

ミス4：連続修正を忘れる

• 正規近似でP(X≤k)を計算する際、連続修正±0.5を加えると精度が上がる
• 厳密なP(X≤k) ≒ Φ((k+0.5-np)/√(np(1-p)))
• 連続修正なしだと系統誤差が生じる

ミス5：組合せ数のオーバーフロー

• n=100、k=50のC(100,50)は既に10^29の巨大数
• 直接計算するとオーバーフローの可能性
• 対数化して logC(n,k) + k×logp + (n-k)×log(1-p)で計算
• Stirlingの公式・Lanczos近似も選択肢

よくある質問（FAQ）

視覚的ケーススタディ

ケース1：コイン10回投げ

公平なコイン（p=0.5）を10回投げるとき、表がk回出る確率の分布：

• k=0：0.10%
• k=1：0.98%
• k=2：4.39%
• k=3：11.72%
• k=4：20.51%
• k=5：24.61%（最頻・期待値）
• k=6：20.51%
• k=7：11.72%
• k=8：4.39%
• k=9：0.98%
• k=10：0.10%

対称形の分布で、k=5を中心に左右対称に確率が減衰します。

ケース2：サイコロで6が出る回数

サイコロを20回振る（p=1/6≒0.167）ときの成功回数kの分布：

• k=0：2.61%
• k=1：10.43%
• k=2：19.82%
• k=3：23.79%（最頻）
• k=4：20.22%（期待値20×0.167=3.33に近い）
• k=5：12.94%
• k=6：6.47%
• k=7：2.59%
• k=8+：合わせて1%程度

p<0.5なので、左に歪んだ非対称分布になっています。

ケース3：抜取り検査

不良率2%のロットから100個抜き取ったときの不良品数kの分布：

• k=0：13.26%
• k=1：27.07%
• k=2：27.34%（最頻）
• k=3：18.23%
• k=4：9.02%
• k=5：3.53%
• k=6以上：1.55%

期待値は100×0.02=2で、最頻値と一致。抜取り検査における「合格判定」の基準確率を導く元データになります。

参考リンク（一次情報）

• 総務省統計局｜統計FAQ
• 総務省統計局｜なるほど統計学
• 日本統計学会
• 文部科学省｜学習指導要領（数学・統計）
• Wolfram MathWorld｜Binomial Distribution
• Wikipedia｜Binomial distribution
• SciPy Documentation｜scipy.stats.binom
• Microsoft｜BINOM.DIST関数
• 日本品質管理学会
• 厚生労働省｜統計情報

用語集

試行（trial）

結果が「成功」「失敗」のいずれかとなる1回の観察・実験。

ベルヌーイ試行

各試行の成功確率がpで一定、試行が独立な二値実験。

成功確率p

1回の試行で成功する確率。0≤p≤1。

試行回数n

実施する試行の合計回数。正の整数。

成功回数k

n回の試行中で成功が観察された回数。0≤k≤n。

期待値E[X]

確率変数の平均値。二項分布ではnp。

分散V[X]

確率変数のばらつきの指標。二項分布ではnp(1-p)。

組合せ数C(n,k)

n個からk個を選ぶ選び方の総数。nCk=n!/(k!(n-k)!)。

確率質量関数（PMF）

離散確率変数がある値をとる確率を表す関数。P(X=k)。

累積分布関数（CDF）

確率変数がある値以下となる確率を表す関数。P(X≤k)。

正規近似

大標本で二項分布を正規分布で近似する手法。np(1-p)≥5が目安。

ポアソン近似

稀事象（n大・p小・np一定）で二項分布をポアソン分布で近似する手法。

免責事項

本ツールおよび記載内容は、二項分布に関する確率計算の学習・実務検討を目的とした参考情報です。研究論文・臨床試験・品質保証・製造工程管理などの正式な統計判断に用いる場合は、統計解析ソフトウェア（R、Python、SPSS、SASなど）による検証と、統計専門家の確認を経てください。二項分布は独立試行かつ成功確率一定という前提モデルであり、実データがその前提を満たさない場合には別のモデル（過分散対応の準二項、ベータ二項、ロジスティック回帰など）の検討が必要です。本ツールの利用に起因して生じたいかなる損害についても、当サイト運営者は責任を負いかねます。

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